Encontre uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha as seguintes curvas integrais.
x y=C.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial ordinária de primeira ordem cuja família de soluções gerais seja dada por
xy = C.
O conteúdo aqui é a ligação entre a solução geral implícita e a forma da equação diferencial.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y) = xy - C = 0,
cujo nível zero representa todas as curvas integrais xy=C.

Passo 3

Para encontrar a equação diferencial, diferenciamos F(x,y)=0 em relação a x usando diferenciação implícita:
\frac{d}{dx}(xy - C) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y + x\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
x\,\frac{dy}{dx} = -y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.

Resposta

A equação diferencial procurada é
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.

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