Encontre uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha as seguintes curvas integrais.
x^{2}-y^{2}=C.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas integrais
x^{2}-y^{2}=C
e pede uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha exatamente essas curvas como soluções gerais. Vamos usar a ideia de diferenciar em relação a x e eliminar a constante C.

Passo 2

Derivando implicitamente a relação
x^{2}-y^{2}=C
em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=0
ou seja
2x-2y\,y'=0.

Passo 3

Isolando y' na equação 2x-2y\,y'=0, temos
2y\,y'=2x
y'=\frac{x}{y}.

Resposta

A equação diferencial buscada é
y'=\frac{x}{y}.

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