Encontre uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha as seguintes curvas integrais.
y=C \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede uma EDO de primeira ordem cuja família de soluções gerais seja
y = C \operatorname{sen}(x),
onde C é a constante de integração. Para encontrar a equação, vamos eliminar o parâmetro C usando diferenciação e relações algébricas.

Passo 2

Da expressão geral obtemos
C = \frac{y}{\operatorname{sen}(x)}.
Essa relação vai nos permitir eliminar C após computar a derivada de y.

Passo 3

Diferenciando y = C \operatorname{sen}(x) em relação a x, temos
\frac{dy}{dx} = C \cos(x).

Passo 4

Substituindo C = \tfrac{y}{\operatorname{sen}(x)} em \tfrac{dy}{dx} = C \cos(x), obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\operatorname{sen}(x)} \cos(x) = y \cot(x).
Logo a EDO que tem como família de soluções y=C\operatorname{sen}(x) é
\frac{dy}{dx} = y \cot(x).

Resposta

\boxed{\frac{dy}{dx} = y \cot(x).}

Exercícios relacionados