Encontre uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha as seguintes curvas integrais.
\arctan (y)+\operatorname{arcsen}(x)=C.

Passo 1

O enunciado pede uma EDO de primeira ordem cujas soluções gerais são dadas implicitamente por
\arctan(y)+\arcsin(x)=C.
Para encontrá-la, vamos usar diferenciação implícita nessa relação e isolar \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, e lembrando que C é constante, vem
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(y)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)=0.
Usamos
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(y)\bigr)=\frac{y'}{1+y^2}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
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\frac{y'}{1+y^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0.

Passo 3

Isolando y' na equação anterior:
\frac{y'}{1+y^2}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

A equação diferencial procurada é
\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}.

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