Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
y^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{y^{3}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'(x)=\frac{x^{2}}{y^{3}}
e pede a família geral de soluções. O conteúdo aqui é de equações diferenciais de variáveis separáveis: vamos separar as variáveis y e x e integrar em cada lado.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e separando variáveis, obtemos
y^{3}\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{3}\,dy = \int x^{2}\,dx
que dá
\frac{y^{4}}{4} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, multiplicamos por 4 e reescrevemos a constante:
y^{4} = \frac{4}{3}\,x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=4C é outra constante arbitrária. Finalmente,
y(x)=\Bigl(\tfrac{4}{3}\,x^{3}+C_{1}\Bigr)^{\tfrac{1}{4}}.

Resposta

y(x)=\Bigl(\tfrac{4}{3}\,x^{3}+C\Bigr)^{\tfrac{1}{4}},
com C constante arbitrária.

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