Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
\tan (x) \cos (y)+\tan (y) y^{\prime}(x)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\tan(x)\,\cos(y)+\tan(y)\,y'(x)=0
e pede uma família de soluções. Vamos reconhecer que é um caso de equação separável, pois podemos agrupar termos em x de um lado e termos em y do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação como diferencial exata em x e y, temos
\tan(x)\,\cos(y)\,dx+\tan(y)\,dy=0.
Para separar variáveis, dividimos toda a expressão por \cos(y):
\tan(x)\,dx+\frac{\tan(y)}{\cos(y)}\,dy=0.
Observamos que
\frac{\tan(y)}{\cos(y)} =\frac{\sin(y)}{\cos^2(y)},
então a equação fica
\tan(x)\,dx+\frac{\sin(y)}{\cos^2(y)}\,dy=0.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
\int \tan(x)\,dx \;+\; \int \frac{\sin(y)}{\cos^2(y)}\,dy = \text{constante}.
Sabemos que
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{\sin(y)}{\cos^2(y)}\,dy = \operatorname{sec}(y).
Logo, a integral total é
-\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \operatorname{sec}(y) = C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reorganizando para expressar a solução de forma implícita, temos
\operatorname{sec}(y) - \ln\bigl|\cos(x)\bigr| = C.
Essa é a família geral de soluções da equação dada.

Resposta

\boxed{\operatorname{sec}(y) - \ln\bigl|\cos(x)\bigr| = C,}
onde C é constante de integração.

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