Encontre uma equação diferencial transformada para a órbita tendo r em função do ângulo polar theta, a partir da equação do movimento dada por:
m d^2 rd t^2=f(r)+ell^2m r^3
lembrando que dottheta=lm r^2. (Valor: 1,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar uma equação diferencial que descreve o movimento de uma órbita, expressando $ r $ (a distância) em função do ângulo polar $ \theta $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como forças e movimento orbital. Precisamos das equações que relacionam a posição e a velocidade no movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação dada é:
m d^2 rd t^2 = f(r) + ell^2m r^3
Aqui, $ m $ é a massa, $ r $ é a distância, $ f® $ é a força radial, e $ \ell $ é o momento angular.

Passo 3

Sabemos que a velocidade angular $ \dot{\theta} $ está relacionada ao momento angular pela expressão:
dottheta
Isso nos ajuda a conectar o tempo com o ângulo $ \theta $.

Passo 4

Queremos expressar tudo em termos de $ \theta $ em vez de $ t $. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas. A primeira derivada de $ r $ em relação ao tempo é:
theta

Passo 5

A segunda derivada de $ r $ em relação ao tempo é um pouco mais complicada. Aplicando a regra da cadeia novamente:
r
Desenvolvendo isso, obtemos:
d^2 rdt^2 = ddt ( drdtheta cdot ellm r^2 )

Passo 6

Agora, substituímos $ \frac{d^{2} r}{dt^{2}} $ na equação original:
d^2 rdt^2

Passo 7

Simplificando a equação:
ell^2m r^4 d^2 rdtheta^2 - 2 ell^2m r^3 ( drdtheta )^2 = f(r) + ell^2m r^3

Passo 8

Dividindo toda a equação por $ \frac{\ell^{2}}{m} $, temos:
ell^2m

Passo 9

Rearranjando os termos para isolar a segunda derivada:
d^2 rdtheta^2 = ell^2m^2 r^4 f(r) + r

Resposta

A equação diferencial transformada para a órbita, com $ r $ em função de $ \theta $, é:
r

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