Encontre uma equação diferencial transformada para a órbita tendo
em função do ângulo polar
, a partir da equação do movimento dada por:
lembrando que
. (Valor: 1,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar uma equação diferencial que descreve o movimento de uma órbita, expressando $ r $ (a distância) em função do ângulo polar $ \theta $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como forças e movimento orbital. Precisamos das equações que relacionam a posição e a velocidade no movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação dada é:
Aqui, $ m $ é a massa, $ r $ é a distância, $ f® $ é a força radial, e $ \ell $ é o momento angular.
Passo 3
Sabemos que a velocidade angular $ \dot{\theta} $ está relacionada ao momento angular pela expressão:
Isso nos ajuda a conectar o tempo com o ângulo $ \theta $.
Passo 4
Queremos expressar tudo em termos de $ \theta $ em vez de $ t $. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas. A primeira derivada de $ r $ em relação ao tempo é:
Passo 5
A segunda derivada de $ r $ em relação ao tempo é um pouco mais complicada. Aplicando a regra da cadeia novamente:
Desenvolvendo isso, obtemos:
Passo 6
Agora, substituímos $ \frac{d^{2} r}{dt^{2}} $ na equação original:
Passo 7
Simplificando a equação:
Passo 8
Dividindo toda a equação por $ \frac{\ell^{2}}{m} $, temos:
Passo 9
Rearranjando os termos para isolar a segunda derivada:
Resposta
A equação diferencial transformada para a órbita, com $ r $ em função de $ \theta $, é: