Encontre a equação ou equações das retas tangentes à curva dada no ponto especificado.
x(t)=-t+2 cos (14 pi t), y(t)=t^4-4 t^2 no ponto (2,0);

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=-t+2cos!l(tfracpi t4r),
y(t)=t^4-4t^2
e pede as equações das retas tangentes no ponto (2,0). Vamos primeiro achar os valores de t que geram esse ponto e depois calcular o coeficiente angular de cada tangente.

Passo 2

Para obter (x,y)=(2,0) resolvemos
y(t)=t^4-4t^2=t^2(t^2-4)=0
logo t=0, t=2 ou t=-2. Agora verificamos x(t)=2:
x(0)=-0+2cos0=2, x(2)=-2+2cos!l(tfracpi2r)=-2, x(-2)=2+2cos!l(-tfracpi2r)=2
Portanto os valores que dão (2,0) são t=0 e t=-2.

Passo 3

Calculamos as derivadas
dot x(t)=dxdt=-1-2sin!l(tfracpi t4r)cdottfracpi4 =-1-tfracpi2sin!l(tfracpi t4r),
dot y(t)=dydt=4t^3-8t=4t(t^2-2)
Assim o coeficiente angular é
m(t)=dot y(t)dot x(t) =4t(t^2-2)-1-tfracpi2sin!l(tfracpi t4r)

Passo 4

Em t=0:
dot y(0)=0, dot x(0)=-1 Longrightarrow m(0)=0
Em t=-2:
dot y(-2)=4(-2)(4-2)=-16,
dot x(-2)=-1-tfracpi2sin!l(-tfracpi2r) =-1+tfracpi2=tfracpi-22,
m(-2)=-16(pi-2)/2=-32pi-2

Passo 5

A equação geral de uma reta tangente em (2,0) é
y=m(x-2)
Logo temos duas retas:
y=0
e
y=-32pi-2,(x-2)

Resposta

y = 0
y = -32pi-2,(x-2)

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