Exercicio 10. Seja f(x, y)=(x-y) /(x+y) se x+y neq 0. Prove que
lim x 0[lim y 0 f(x, y)]=1 e lim y 0[lim x 0 f(x, y)]=-1

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x-yx+y, x+yneq0,
e pede para calcular os limites iterados limxto0l[limyto0f(x,y)r] e limyto0l[limxto0f(x,y)r]. O conteúdo aplicado é de limites em funções de duas variáveis e a técnica é calcular primeiro o limite interno (mantendo uma variável fixa) e depois o limite externo.

Passo 2

Calcular o limite interno em y:
para xneq0 temos
limyto0f(x,y) =limyto0x-yx+y =x-0x+0=1
para x=0 temos, para yneq0,
f(0,y)=0-y0+y=-1
e portanto
limyto0f(0,y)=-1
Definimos então
varphi(x)=limyto0f(x,y) = 1,&xneq0, -1,&x=0

Passo 3

Calcular o limite externo em x:
como varphi(x)=1 para todo xneq0, ao nos aproximarmos de 0 por valores não nulos, temos
limxto0varphi(x)=1

Passo 4

Calcular o outro limite interno em x:
para yneq0 temos
limxto0f(x,y) =limxto0x-yx+y =0-y0+y=-1
para y=0 e xneq0
f(x,0)=x-0x+0=1
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psi(y)=limxto0f(x,y) = -1,&yneq0, 1,&y=0

Passo 5

Calcular o limite externo em y:
como psi(y)=-1 para todo yneq0, ao nos aproximarmos de 0 por valores não nulos, temos
limyto0psi(y)=-1

Resposta

limxto0l[limyto0f(x,y)r]=1, limyto0l[limxto0f(x,y)r]=-1

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