Encontre a equação ou equações das retas tangentes à curva dada no ponto especificado.
x(t)=t^3-t, y(t)=t sen(12 pi t) no ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por
x(t)=t^3-t,
y(t)=tsinl(tfracpi2tr),
e pede as retas tangentes à curva que passam pelo ponto (0,1). Para isso, precisamos achar os valores de t que geram esse ponto, calcular as derivadas tfracdxdt e tfracdydt, e então obter a inclinação m=tfracdy/dtdx/dt em cada t.

Passo 2

Encontramos t resolvendo o sistema
t^3-t=0, tsinl(tfracpi2tr)=1
Da primeira equação t(t^2-1)=0, logo tin-1,0,1.
Para t=0 obtemos y(0)=0, que não dá 1.
Para t=pm1 temos
y(pm1)=(pm1),sin!l(pmtfracpi2r) =(pm1)(pm1)=1,
então os valores válidos são t=-1 e t=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas em função de t:
dxdt=3t^2-1,
dydt =sinl(tfracpi2tr) +tcosl(tfracpi2tr)cdottfracpi2

Passo 4

Para t=-1:
dxdtl|t=-1=3cdot1-1=2,
dydtl|t=-1 =sinl(-tfracpi2r) +(-1)cosl(-tfracpi2r)tfracpi2 =-1+0=-1
Logo a inclinação é
m=dy/dtdx/dt=-12=-tfrac12

Passo 5

A reta tangente em t=-1 que passa por (0,1) satisfaz
y-1=-tfrac12,(x-0),
ou seja
y=1-tfracx2

Passo 6

Para t=1:
dxdtl|t=1=3cdot1-1=2,
dydtl|t=1 =sinl(tfracpi2r) +1cdotcosl(tfracpi2r)tfracpi2 =1+0=1
Portanto
m=12=tfrac12,
e a reta tangente em t=1 é
y-1=tfrac12,(x-0),
ou
y=1+tfracx2

Resposta

y = 1 - x2
y = 1 + x2

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