Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
y^prime-2 y=5 e^7 t, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - 2y = 5e^7t, y(0)=2
Este é um caso clássico de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante com a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(t),y = g(t),
onde p(t)=-2 e g(t)=5e^7t. O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -2,dt = e^-2t
Multiplicando toda a equação por mu(t) obtemos
e^-2ty' - 2e^-2ty = 5e^7te^-2t = 5e^5t

Passo 3

O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(t),y, isto é,
ddtl(e^-2tyr) = 5e^5t
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^-2ty = integral 5e^5t,dt = e^5t + C

Passo 4

Isolando y, multiplicamos por e^2t:
y = e^2tl(e^5t + Cr) = e^7t + C,e^2t
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = e^0 + C,e^0 = 1 + C = 2 Longrightarrow C = 1
Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução particular do P.V.I.:

Resposta

y(t) = e^7t + e^2t

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