Exercício 6. Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
x(t)=cos t, y(t)=sen 2 t.

Passo 1

Temos a curva parametrizada por
x(t)=cos t, y(t)=sen 2t
O conteúdo aqui é derivação de curvas paramétricas: a inclinação da reta tangente é dada por
dydx=dydtdxdt
Tangente horizontal ocorre quando dy/dx=0 (isto é, dy/dt=0 e dx/dtneq0). Tangente vertical ocorre quando dy/dx tende a infinito (isto é, dx/dt=0 e dy/dtneq0).

Passo 2

Calculamos as derivadas em função de t:
dxdt=-sen t, dydt=2cos 2t

Passo 3

Para tangente horizontal exigimos dydt=0 e dxdtneq0.
dydt=0 se cos 2t=0, ou seja
2t=pi2+kpi Longrightarrow t=pi4+kpi2,;kinZ
Nesses t, sen tneq0, logo dxdtneq0. Os pontos são
x=cos!l(pi4+kpi2r)=pmraiz22, y=senl(2tr)=sen!l(pi2+kpir)=pm1
Em particular, nos quatro valores de k=0,1,2,3 aparecem os pontos
l(tfracraiz22,1r), l(-tfracraiz22,-1r),
l(-tfracraiz22,1r), l(tfracraiz22,-1r).

Passo 4

Para tangente vertical exigimos dxdt=0 e dydtneq0.
dxdt=0 se sen t=0, ou seja t=kpi.
Nesse caso cos2t=cos(2kpi)=1neq0, logo dydt=2neq0.
Os pontos são
x=cos(kpi)=(-1)^k, y=sen(2kpi)=0,
isto é, alternadamente (1,0) e (-1,0).

Passo 5

O esboço da curva é a figura de Lissajous de frequências 1:2. Dá um “8” deitado que cruza em (0,0), atinge máximos y=1 em x=pmraiz22 e mínimos y=-1 em x=pmraiz22, com extremidades verticais em (1,0) e (-1,0).

Resposta

Tangente horizontal em
l(pmtfracraiz22,pm1r)
Tangente vertical em
(1,0)e(-1,0)

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