Exercício 6. Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
.
Passo 1
Temos a curva parametrizada por
O conteúdo aqui é derivação de curvas paramétricas: a inclinação da reta tangente é dada por
Tangente horizontal ocorre quando
(isto é,
e
). Tangente vertical ocorre quando
tende a infinito (isto é,
e
).
Passo 2
Calculamos as derivadas em função de
:
Passo 3
Para tangente horizontal exigimos
e
.
se
, ou seja
Nesses
,
, logo
. Os pontos são
Em particular, nos quatro valores de
aparecem os pontos
,
,
,
.
Passo 4
Para tangente vertical exigimos
e
.
se
, ou seja
.
Nesse caso , logo
.
Os pontos são
Nesse caso
Os pontos são
isto é, alternadamente
e
.
Passo 5
O esboço da curva é a figura de Lissajous de frequências
. Dá um “8” deitado que cruza em
, atinge máximos
em
e mínimos
em
, com extremidades verticais em
e
.
Resposta
Tangente horizontal em
Tangente vertical em