Exercicio 11. Seja
Calcule
lim (x, y) (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2+y^2-1 .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede o limite
Como
l(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2=1 , precisamos analisar o comportamento da razão quando
t=x^2+y^2-1to0 .
Passo 2
Defina
Então
Vamos primeiro calcular o limite quando
tto0^- .
Passo 3
Para
tto0^- temos a expressão
Façamos a mudança de variável
u = 1/t . Quando
tto0^- ,
uto -infty , e
Como o termo exponencial domina o fator polinomial em
uto-infty , vale
Logo
Passo 4
Para
tto0^+ (isto é,
x^2+y^2>1 próximo do ponto), temos
f(x,y)=0 e
t>0 , de modo que
logo
Passo 5
Os limites laterais pelo interior (
tto0^- ) e pelo exterior (
tto0^+ ) coincidem e valem
0 . Portanto o limite bidimensional existe e é
0 .