Exercicio 11. Seja f(x, y)= e^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 ; 0 & se x^2+y^2 >= 1
Calcule lim (x, y) (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2+y^2-1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= e^(1x^2+y^2-1),&se x^2+y^2<1, 0,&se x^2+y^2>=1,
e pede o limite
lim(x,y)tol(tfracraiz22,tfracraiz22r) f(x,y)x^2+y^2-1
Como l(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2=1, precisamos analisar o comportamento da razão quando t=x^2+y^2-1to0.

Passo 2

Defina
t = x^2+y^2-1
Então
f(x,y)x^2+y^2-1 = e^1/tt,&t<0, 0/t,&t>=0
Vamos primeiro calcular o limite quando tto0^-.

Passo 3

Para tto0^- temos a expressão
e^1/tt
Façamos a mudança de variável u = 1/t. Quando tto0^-, uto -infty, e
e^1/tt = e^u1/u = u,e^u
Como o termo exponencial domina o fator polinomial em uto-infty, vale
limuto-infty u,e^u = 0
Logo
limtto0^-e^1/tt = 0

Passo 4

Para tto0^+ (isto é, x^2+y^2>1 próximo do ponto), temos f(x,y)=0 e t>0, de modo que
f(x,y)t = 0,
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limtto0^+f(x,y)t = 0

Passo 5

Os limites laterais pelo interior ( tto0^-) e pelo exterior ( tto0^+) coincidem e valem 0. Portanto o limite bidimensional existe e é 0.

Resposta

0

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