Questão 4

Considerando múltiplos sensores por bomba e falhas independentes:
  • Qual a probabilidade de que pelo menos dois sensores detectem corretamente uma falha?
  • Como essa probabilidade influencia a decisão sobre redundância (presença de vários no sistema) de sensores?

Passo 1

O enunciado trata de uma bomba monitorada por n sensores idênticos e independentes, cada um com probabilidade p de detectar corretamente uma falha. Queremos (a) a probabilidade de que pelo menos dois sensores detectem a mesma falha e (b) avaliar como esse resultado orienta a escolha de quantos sensores usar (redundância).

Passo 2

Modelamos o número de detectores bem-sucedidos pela variável aleatória binomial X\sim \mathrm{Binomial}(n,p). Logo,
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k},\quad k=0,1,\dots,n.

Passo 3

A probabilidade de pelo menos dois sensores detectarem a falha é
P(X\ge2) =1 - P(X<2) =1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Substituindo,
P(X\ge2) =1 - \Bigl[(1-p)^n + n\,p\,(1-p)^{\,n-1}\Bigr].

Passo 4

Esse P(X\ge2) cresce com n (para p>0), mas apresenta retorno decrescente: cada sensor adicional aumenta menos a probabilidade total. Para projetar o sistema, define-se um nível desejado de confiabilidade P^* (por exemplo, 0,99) e escolhe-se o menor n tal que
1 - \bigl[(1-p)^n + n\,p\,(1-p)^{\,n-1}\bigr]\ge P^*.
A partir daí, equilibra-se custo versus ganho de confiabilidade.

Resposta

(a) \displaystyle P(X\ge2)=1 - \bigl[(1-p)^n + n\,p\,(1-p)^{\,n-1}\bigr].
(b) Quanto maior P(X\ge2), mais segura a detecção de falha. Escolhe-se o número n de sensores garantindo que essa probabilidade atinja o nível mínimo exigido, ponderando custo versus confiabilidade.

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