Questão 5

Explique com suas palavras os conceitos de: Independência de eventos, Probabilidade Condicional, Probabilidade Total, Informação a Priori e Verossimilhança.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos, com nossas próprias palavras, cinco conceitos básicos de probabilidade: independência de eventos, probabilidade condicional, probabilidade total, informação a priori e verossimilhança. Para isso, vamos recorrer à definição formal de probabilidade e ao raciocínio intuitivo por trás de cada conceito.

Passo 2

Independência de eventos
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a chance do outro ocorrer. Formalmente, isso significa que
P(A\cap B) = P(A)\,P(B).
Outra forma equivalente é
P(A\mid B) = P(A) \quad\text{e}\quad P(B\mid A) = P(B).
Intuitivamente, saber que B aconteceu não dá nenhuma informação extra sobre A.

Passo 3

Probabilidade condicional
A probabilidade de um evento A ocorrer sabendo que outro evento B ocorreu é definida por
P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Esse conceito expressa como a nossa “visão” de A muda quando sabemos que B já ocorreu.

Passo 4

Probabilidade Total
Quando um espaço amostral é particionado em eventos mutuamente exclusivos B_1, B_2, \dots, B_n que cobrem todo o espaço, a probabilidade de um evento A pode ser obtida pela soma
P(A) = \sum_{i=1}^n P(A\cap B_i) = \sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i).
Isso nos permite calcular P(A) mesmo sem conhecer diretamente P(A), desde que saibamos as probabilidades condicionais em cada partição.

Passo 5

Informação a Priori
Chama-se probabilidade a priori (ou só “priori”) a nossa avaliação inicial da chance de um evento ou parâmetro antes de observar qualquer dado novo. Em termos de estatística bayesiana, se \theta é um parâmetro, então P(\theta) é a nossa crença inicial sobre \theta, usada como ponto de partida antes de atualizar com evidências.

Passo 6

Verossimilhança
A verossimilhança é uma função dos parâmetros dada a observação dos dados. Se coletamos dados D e nosso modelo depende de \theta, a verossimilhança é
L(\theta\mid D) = P(D\mid \theta).
Ela mede o quanto diferentes valores de \theta tornam os dados D prováveis. Em inferência, escolhemos \theta que maximiza L(\theta\mid D) (método da máxima verossimilhança).

Resposta

  • Independência de eventos: P(A\cap B)=P(A)\,P(B), ou seja, saber que um ocorre não muda a chance do outro.
  • Probabilidade Condicional: P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, que é a chance de A dado que já ocorreu B.
  • Probabilidade Total: P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)\,P(B_i) quando \{B_i\} particiona o espaço.
  • Informação a Priori: probabilidade inicial P(\theta) de um parâmetro \theta antes de observar dados.
  • Verossimilhança: função L(\theta\mid D)=P(D\mid \theta) que quantifica o quão provável é o dado D para cada valor de \theta.

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