Encontre a equação geral para cada equação diferencial dada
Passo 1
Beleza, temos a seguinte equação diferencial de terceira ordem:
Vamos resolver essa equação encontrando sua solução geral. Para isso, vamos usar o método da equação característica, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Fazendo isso, cada derivada de
se transforma em uma potência de
:
Substituindo na equação diferencial:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes da equação característica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para
são os divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1), ou seja,
.
Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, vamos fatorar
da equação cúbica usando a divisão polinomial ou o método da fatoração:
O polinômio quadrático
pode ser fatorado como:
Portanto, a equação característica completa é:
Isso significa que temos uma raiz real múltipla de multiplicidade 3:
com multiplicidade 3.
Passo 4
Com uma raiz real múltipla de multiplicidade 3, a solução geral da equação diferencial será composta por termos que envolvem
e polinômios em
.
A fórmula para soluções com raízes múltiplas é:
Substituindo
:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
,
e
são constantes reais.