Encontre a equação geral para cada equação diferencial dada
y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, temos a seguinte equação diferencial de terceira ordem:
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
Vamos resolver essa equação encontrando sua solução geral. Para isso, vamos usar o método da equação característica, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y = e^rt Rightarrow y' = r e^rt, y'' = r^2 e^rt, y''' = r^3 e^rt por r^3 e^rt + 3r^2 e^rt + 3r e^rt + e^rt = 0 , onde e^rt(r^3 + 3r^2 + 3r + 1) = 0 Rightarrow r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0 é uma constante que precisamos encontrar. Fazendo isso, cada derivada de se transforma em uma potência de :
Substituindo na equação diferencial:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes da equação característica:
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0 são os divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1), ou seja, r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = (r + 1)(r^2 + 2r + 1) .
Testando r^2 + 2r + 1 = (r + 1)^2 :
(r + 1)^3 = 0
Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar da equação cúbica usando a divisão polinomial ou o método da fatoração:
O polinômio quadrático pode ser fatorado como:
Portanto, a equação característica completa é:
Isso significa que temos uma raiz real múltipla de multiplicidade 3: com multiplicidade 3.

Passo 4

Com uma raiz real múltipla de multiplicidade 3, a solução geral da equação diferencial será composta por termos que envolvem y(t) = (C1 + C2 t + C3 t^2) e^rt e polinômios em y(t) = (C1 + C2 t + C3 t^2) e^-t .
A fórmula para soluções com raízes múltiplas é:
Substituindo :
Onde , e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = ( C1 + C2 t + C3 t^2 ) e^-t
onde , e são constantes reais.

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