Encontre os limites no infinito em cada caso abaixo.
lim y +infty raizy^2+4y+4

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar o limite limyto+infty raizy^2+4y+4. O conteúdo envolvido é cálculo de limites no infinito de funções que misturam raiz quadrada e polinômios, e vamos precisar usar fatoração e divisão pelo termo de maior grau.

Passo 2

Para simplificar o radical, fatoramos y^2 dentro da raiz:
raizy^2+4=raizy^2l(1+tfrac4y^2r)=|y|raiz1+tfrac4y^2
Como estamos no limite yto+infty, temos |y|=y. Logo
raizy^2+4=yraiz1+tfrac4y^2

Passo 3

Agora dividimos numerador e denominador por y, o maior termo em módulo:
$$\frac{\sqrt{y2+4}}{y+4}=\frac{y\sqrt{1+\tfrac{4}{y2}}}{y\bigl(1+\tfrac{4}{y}\bigr)}
=\frac{\sqrt{1+\tfrac{4}{y^2}}}{1+\tfrac{4}{y}}.$$

Passo 4

Para yto+infty, temos tfrac4y^2to0 e tfrac4yto0. Portanto
limyto+inftyraiz1+tfrac4y^21+tfrac4y=raiz1+01+0=1

Resposta

1

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