Encontre a equação geral e esboce o plano que se pede:
Que passe pelo ponto A(0,5,0) e seja ortogonal ao plano pi : 3 x+4 y-z=0.

Passo 1

O enunciado quer um plano que (1) passe por A=(0,5,0) e (2) seja ortogonal ao plano
pi:;3x+4y-z=0
Em Geometria Analítica, dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares.

Passo 2

O vetor normal de pi é
npi=(3,4,-1)
Se o plano procurado tem vetor normal n=(n1,n2,n3), a ortogonalidade exige
ncdotnpi =3,n1+4,n2-1cdot n3 =0

Passo 3

Como o plano deve passar por A, sua equação geral
n1x+n2y+n3z+d=0
satisfaz
d = -l(n1cdot0 + n2cdot5 + n3cdot0r) = -5,n2
Logo temos o sistema de coeficientes
3n1+4n2 - n3 = 0, d = -5,n2

Passo 4

Da primeira equação vem n3 = 3n1+4n2. Substituindo em n1x+n2y+n3z-5n2=0, obtemos a forma geral da família de planos buscada:
n1x + n2y + (3n1+4n2)z - 5n2 = 0,
ou, factorizando dois parâmetros livres alpha=n1, beta=n2:
boxed;alpha,(x+3z);+;beta,(y+4z-5);=;0, (alpha,beta)neq(0,0)

Passo 5

Para esboçar um exemplo, escolhemos alpha=1,beta=0. Isso dá
x+3z=0,
que passa por A e satisfaz
(1,0,3)cdot(3,4,-1)=3-3=0. É um plano vertical paralelo ao eixo y, cortando o plano xz na reta x+3z=0.

Resposta

Equação >=ral: ;alpha,(x+3z)+beta,(y+4z-5)=0,(alpha,beta)neq(0,0) çã
Um plano particular (esboçado) é
x+3z=0

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