Encontre a equação geral e esboce o plano que se pede:
Que tem com interseção com o plano pi: 3 x+4 y-z=0 a reta r: x-12=y-2=z-42.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de todos os planos que intersectam o plano picolon 3x+4y-z=0 exatamente na reta
rcolon x-12=y-2=z-42
O conteúdo aqui é o feixe (pencil) de planos que passam por uma reta dada e, em particular, têm interseção com pi igual a r. Para resolver, vamos: (i) obter um ponto e um vetor diretor de r; (ii) caracterizar o vetor normal genérico de um plano que contenha r; (iii) impor a condição de passar por um ponto de r e obter a forma paramétrica da família; (iv) se desejar, apresentar um caso particular e esboçá-lo.

Passo 2

Da reta r escrevemos em forma paramétrica com parâmetro t:
x=1+2t, y=2+t, z=4+2t
Dessa forma, um ponto em r é
P0=(1,2,4)
e um vetor diretor de r é
vec vr=(2,1,2)

Passo 3

Um plano que contenha r deve ter seu vetor normal vec n=(n1,n2,n3) perpendicular a vec vr, isto é
vec ncdotvec vr=2n1+n2+2n3=0
Além disso, como o plano passa por P0, sua equação vetorial é
vec ncdotl((x,y,z)-P0r)=0
Logo, temos duas condições que definem o feixe de planos procurado.

Passo 4

Resolvendo 2n1+n2+2n3=0, tomemos n2=mu e n3=lambda livres. Então
n1=-tfracmu+2lambda2,
e a equação
vec ncdotl((x,y,z)-(1,2,4)r)=0
fica, multiplicando por 2 para simplificar,
-(mu+2lambda)(x-1)+2mu(y-2)+2lambda(z-4)=0
Expandindo e reorganizando, obtemos a forma final da família de planos:
mu,(x-2y+3)+2lambda,(x-z+3)=0, (mu,lambda)neq(0,0)

Passo 5

Podemos reescrever a família em função de um único parâmetro t=2lambda/mu (assumindo muneq0) como
(x-2y+3)+t,(x-z+3)=0, tinR
Ou seja, a equação geral é
(1+t)x-2y-t,z+(3+3t)=0, tinR

Passo 6

Para esboçar, escolha por exemplo t=1. Isso dá o plano
2x-2y-z+6=0
Em forma de interceptos, temos x-intercepto -3, y-intercepto 3 e z-intercepto 6. A reta r é a linha de interseção desse plano com pi. No esboço, desenhe:
  1. A reta r saindo de P0=(1,2,4) na direção (2,1,2).
  2. Os pontos (-3,0,0), (0,3,0) e (0,0,6) e forme o triângulo que representa o plano.
  3. Mostre também o plano pi para visualizar que ambos se cruzam exatamente em r.

Resposta

A família de planos que intersecta pi exatamente na reta r é
mu,(x-2y+3)+2lambda,(x-z+3)=0, (mu,lambda)neq(0,0),
ou, em forma de parâmetro único t,
(1+t)x-2y-t,z+(3+3t)=0, tinR

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