Encontre a equação geral e esboce o plano que se pede:
Que tem com interseção com o plano
a reta
.
Que tem com interseção com o plano
Passo 1
O enunciado pede a equação geral de todos os planos que intersectam o plano
exatamente na reta
O conteúdo aqui é o feixe (pencil) de planos que passam por uma reta dada e, em particular, têm interseção com
igual a
. Para resolver, vamos: (i) obter um ponto e um vetor diretor de
; (ii) caracterizar o vetor normal genérico de um plano que contenha
; (iii) impor a condição de passar por um ponto de
e obter a forma paramétrica da família; (iv) se desejar, apresentar um caso particular e esboçá-lo.
Passo 2
Da reta
escrevemos em forma paramétrica com parâmetro
:
Dessa forma, um ponto em
é
e um vetor diretor de
é
Passo 3
Um plano que contenha
deve ter seu vetor normal
perpendicular a
, isto é
Além disso, como o plano passa por
, sua equação vetorial é
Logo, temos duas condições que definem o feixe de planos procurado.
Passo 4
Resolvendo
, tomemos
e
livres. Então
e a equação
fica, multiplicando por 2 para simplificar,
Expandindo e reorganizando, obtemos a forma final da família de planos:
Passo 5
Podemos reescrever a família em função de um único parâmetro
(assumindo
) como
Ou seja, a equação geral é
Passo 6
Para esboçar, escolha por exemplo
. Isso dá o plano
Em forma de interceptos, temos
-intercepto
,
-intercepto
e
-intercepto
. A reta
é a linha de interseção desse plano com
. No esboço, desenhe:
- A reta
saindo de na direção . - Os pontos
, e e forme o triângulo que representa o plano. - Mostre também o plano
para visualizar que ambos se cruzam exatamente em .
Resposta
A família de planos que intersecta
exatamente na reta
é
ou, em forma de parâmetro único
,