Encontre a equação geral e esboce o plano que se pede:
Que passe pelos pontos A(1,-1,0), B(0,3,3) e C(0,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que passa pelos pontos A(1,-1,0), B(0,3,3) e C(0,4,-1), e em seguida um esboço desse plano. O conteúdo de matéria envolvido é geometria analítica no espaço, onde vamos usar vetores diretores, produto vetorial para obter o vetor normal e a forma vetorial da equação do plano.

Passo 2

Para achar o vetor normal n do plano, primeiro determinamos dois vetores contidos no plano, por exemplo
AB = B - A = (0-1,;3-(-1),;3-0) = (-1,,4,,3),
AC = C - A = (0-1,;4-(-1),;-1-0) = (-1,,5,,-1)
O vetor normal é dado pelo produto vetorial:
n = AB times AC = i & j & k [6pt] -1 & 4 & 3 [2pt] -1 & 5 & -1 = (-19,,-4,,-1)
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal, obtendo
n = (19,,4,,1) ]

Passo 3

Usamos a forma vetorial da equação do plano com ponto A e normal n:
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow (19,4,1)cdot(x-1,;y+1,;z-0)=0
Isso gera a equação em forma geral:
19(x-1) + 4(y+1) + 1,(z-0) = 0 ;Longrightarrow; 19x - 19 + 4y + 4 + z = 0 ;Longrightarrow; 19x + 4y + z - 15 = 0

Passo 4

Para esboçar o plano, encontramos suas intersecções com os eixos coordenados:
y=0,;z=0⟹19x - 15 = 0;Rightarrow;x=tfrac1519, x=0,;z=0⟹4y - 15 = 0;Rightarrow;y=tfrac154, x=0,;y=0⟹z - 15 = 0;Rightarrow;z=15
Assim, o plano corta os eixos em l(tfrac1519,0,0r), l(0,tfrac154,0r) e l(0,0,15r). No esboço, desenhe os eixos x, y e z, marque esses três pontos e faça o polígono triangular que os liga: esse triângulo é a seção do plano pelos eixos, dando uma boa ideia de sua inclinação.

Resposta

A equação geral do plano é
19x + 4y + z - 15 = 0
O esboço pode ser feito marcando os interceptos nos eixos em l(tfrac1519,0,0r), l(0,tfrac154,0r) e l(0,0,15r) e ligando-os, obtendo a representação plana em perspectiva tridimensional.

Exercícios relacionados