Encontre a equação geral e esboce o plano que se pede:
Que passe pelo ponto A(0,5,0) e seja paralelo ao plano pi : 3 x+4 y-z=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano alpha que passe por A(0,5,0) e seja paralelo ao plano picolon 3x+4y-z=0. O conteúdo principal é geometria analítica de planos no espaço: para que dois planos sejam paralelos, eles devem ter o mesmo vetor normal; depois, determinamos o termo independente usando as coordenadas de A.

Passo 2

Identificamos o vetor normal de pi a partir dos coeficientes de x, y e z. Como pi é dada por
3x+4y-z=0,
o vetor normal é
n=(3,4,-1)

Passo 3

O plano procurado alpha terá a mesma normal, logo sua equação geral pode ser escrita como
3x+4y-z+d=0,
onde d é uma constante a ser encontrada.

Passo 4

Substituímos as coordenadas de A(0,5,0) na equação de alpha para determinar d:
3cdot0+4cdot5-0+d=0 Longrightarrow 20+d=0 Longrightarrow d=-20

Passo 5

Portanto, a equação geral do plano alpha é
3x+4y-z-20=0
ou, de forma equivalente,
3x+4y-z=20

Passo 6

Para esboçar alpha, basta marcar seus interceptos com os eixos coordenados:
eixo x:& y=0, z=0 Rightarrow 3x=20 Rightarrow x=tfrac203, eixo y:& x=0, z=0 Rightarrow 4y=20 Rightarrow y=5, eixo z:& x=0, y=0 Rightarrow -z=20 Rightarrow z=-20
No desenho, traçamos os pontos l(tfrac203,0,0r), (0,5,0) e (0,0,-20) e desenhamos a porção do plano que os conecta, mostrando uma superfície inclinada paralela a pi.

Resposta

3x+4y-z-20=0

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