Esboce e calcule a menor distância entre pontos dos planos pi1: 3 x-2 y-z-3=0, pi2: 3 z+6 y-9 x-7=0.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em R^3:
pi1:3x-2y-z-3=0 e pi2:3z+6y-9x-7=0.
Queremos esboçar a posição relativa desses planos, reconhecer que eles são paralelos e usar a fórmula da menor distância entre planos paralelos.

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
n1=(3,-2,-1) a pi1 e
n2=(-9,6,3) a pi2.
Note que n2=-3,n1, logo os planos são paralelos.

Passo 3

Esboço (descritivo): imagine o sistema de eixos x,y,z. Sobre ele, duas “folhas” paralelas representam pi1 e pi2. O vetor normal n=(3,-2,-1) sai perpendicularmente de pi1 e atinge pi2; esse segmento perpendicular é o de menor distância.

Passo 4

Para usar a fórmula de distância entre planos paralelos, escrevemos ambas com o mesmo normal. Dividindo a equação de pi2 por -3 obtemos
3x-2y-z+tfrac73=0
Assim, em ;3x-2y-z+D=0, temos
,D1=-3 para pi1 e ,D2=tfrac73 para pi2.

Passo 5

A distância entre
3x-2y-z+D1=0 e 3x-2y-z+D2=0
é
l|D2-D1r|raiz3^2+(-2)^2+(-1)^2 =l|tfrac73-(-3)r|raiz14 =16/3raiz14 =163raiz14 =8raiz1421

Resposta

A menor distância entre pi1 e pi2 é
163raiz14 l(=tfrac8raiz1421r)

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