Encontre a equação geral e esboce o plano que se pede:
Que passe pelos pontos e .
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos , e , e também um esboço. O conteúdo é geometria analítica em . Para resolver, vamos usar vetores diretoras do plano, obter seu vetor normal pelo produto vetorial e daí escrever a equação.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um ponto de referência, por exemplo , e formamos dois vetores que ficam dentro do plano:
AC = C - A = (0,0,3) - (3,0,0) = (-3,0,3)
Passo 3
O vetor normal n ao plano é ortogonal a AB e a AC, então fazemos o produto vetorial:
n = ABtimesAC = i & j & k -3 & 3 & 0 -3 & 0 & 3 = (3cdot3 - 0cdot0),i -(-3cdot3 - 0cdot(-3)),j +(-3cdot0 - 3cdot(-3)),k,
n = (9),i -(-9),j + (9),k = (9,9,9)
Passo 4
Como qualquer múltiplo de n também é normal, podemos simplificar para (1,1,1). A forma vetorial da equação do plano usando o ponto A fica
(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(3,0,0)r)=0
Passo 5
Desenvolvendo o produto escalar:
1,(x-3) + 1,(y-0) + 1,(z-0) = 0 Longrightarrow x - 3 + y + z = 0 Longrightarrow x + y + z = 3
Passo 6
Em forma geral, a equação é
x + y + z - 3 = 0
Em forma intercepto, fica
x3 + y3 + z3 = 1,
mostrando que o plano intercepta os eixos em (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3).
Passo 7
No esboço, basta desenhar os três pontos nos eixos coordenados e traçar o triângulo que eles formam; o plano é a superfície que contém esse triângulo e se estende suavemente por toda a primeira região octante.
Resposta
A equação geral do plano é
x + y + z - 3 = 0
O esboço do plano é o triângulo cujos vértices são A(3,0,0), B(0,3,0) e C(0,0,3), interceptando cada eixo em 3.