Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
contém o ponto A(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta L=alphacapbeta, sendo
alpha:3x - y + 2z +9=0
beta: x + z -3=0
além de conter o ponto A(1,1,1).
O conteúdo é o “fato” de que todo plano que passa por L pode ser escrito como combinação linear de alpha e beta.

Passo 2

Seja Pi um plano genérico que contenha L. Então existem constantes reais 1 e lambda tais que a equação de Pi é
alpha + lambda,beta = 0
isto é,
(3x - y + 2z +9) + lambda,(x + z -3)=0

Passo 3

Agrupando termos em x, y, z e o termo constante, obtemos
(3+lambda)x ;-;y;+;(2+lambda)z;+;(9-3lambda)=0

Passo 4

Para que Pi contenha A(1,1,1), basta substituir x=1, y=1, z=1 na equação de Pi e igualar a zero:
(3+lambda)cdot1 ;-;1 ;+;(2+lambda)cdot1 ;+;(9-3lambda)=0
Isso dá
3+lambda -1 +2+lambda +9 -3lambda =0 ;Longrightarrow; 13 -lambda =0 ;Longrightarrow; lambda=13

Passo 5

Voltando lambda=13 na equação geral, temos
(3+13)x -y + (2+13)z + (9-3cdot13)=0 ;Longrightarrow; 16x - y +15z -30 =0

Resposta

A equação geral do plano desejado é
16x - y + 15z - 30 = 0

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