Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
é paralelo ao eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta L=alphacapbeta, sendo
alpha:3x-y+2z+9=0,
beta:x+z-3=0,
e que seja paralelo ao eixo z.
Conteúdo: família de planos que contêm a reta de interseção e condição de paralelismo ao eixo z.

Passo 2

A família de planos que contém L é dada por
alpha+lambda,beta=0,
ou seja
(3x-y+2z+9)+lambda,(x+z-3)=0
Agrupando termos:
(3+lambda)x ;-;y;+;(2+lambda)z;+;(9-3lambda)=0

Passo 3

Um plano é paralelo ao eixo z se o vetor (0,0,1) (direção de z) for paralelo ao plano, isto é, seu vetor normal n=(3+lambda,,-1,;2+lambda) deve satisfazer
ncdot(0,0,1)=0
Logo
2+lambda=0 Longrightarrow lambda=-2

Passo 4

Substituindo lambda=-2 em
(3+lambda)x - y + (2+lambda)z + (9-3lambda)=0
fica
(3-2)x - y + 0cdot z + (9+6)=0 Longrightarrow x - y +15=0

Resposta

A equação geral do plano é
x - y +15 = 0

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