Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos e e que:
é perpendicular ao plano .
Passo 1
O enunciado pede o plano que contém a reta de interseção dos planos e
e que é perpendicular ao plano .
Vamos usar: Intersecção de dois planos para obter a reta (vetor diretor e um ponto). Condição de perpendicularidade entre planos (normais ortogonais).
Passo 2
Para achar a reta de interseção, resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
Tomando , obtemos a reta em forma paramétrica:
logo o vetor diretor é é .
Passo 3
O plano buscado deve ser perpendicular ao plano xy, que tem equação z=0 e normal nxy=(0,0,1).
Dois planos são perpendiculares se seus normais são ortogonais, isto é,
ncdot nxy=0implies nz=0
Passo 4
Como a reta está contida no plano, seu vetor diretor d também deve ser ortogonal ao normal n=(A,B,0) do plano.
Portanto
ncdot d=0implies (A,B,0)cdot(-1,-1,1)= -A -B +0=0implies A+B=0implies B=-A
Passo 5
Escolhendo A=1 temos n=(1,-1,0) e a equação geral do plano é
1cdot x -1cdot y +0cdot z +D=0implies x-y+D=0
Para determinar D, substituímos o ponto P=(3,18,0):