Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
é perpendicular ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta de interseção dos planos
alpha:3x-y+2z+9=0 e beta:x+z-3=0
e que é perpendicular ao plano xy.
Vamos usar:
bul<=t Intersecção de dois planos para obter a reta (vetor diretor e um ponto).
bul<=t Condição de perpendicularidade entre planos (normais ortogonais).

Passo 2

Para achar a reta de interseção, resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
Tomando , obtemos a reta em forma paramétrica:
logo o vetor diretor é é .

Passo 3

O plano buscado deve ser perpendicular ao plano xy, que tem equação z=0 e normal nxy=(0,0,1).
Dois planos são perpendiculares se seus normais são ortogonais, isto é,
ncdot nxy=0implies nz=0

Passo 4

Como a reta está contida no plano, seu vetor diretor d também deve ser ortogonal ao normal n=(A,B,0) do plano.
Portanto
ncdot d=0implies (A,B,0)cdot(-1,-1,1)= -A -B +0=0implies A+B=0implies B=-A

Passo 5

Escolhendo A=1 temos n=(1,-1,0) e a equação geral do plano é
1cdot x -1cdot y +0cdot z +D=0implies x-y+D=0
Para determinar D, substituímos o ponto P=(3,18,0):
3-18+D=0implies D=15

Resposta

A equação geral do plano é
boxedx - y + 15 = 0

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