Mostre que:
r:cx=3 t+7 y=2 t+2 z=-2 t+1 e s: x-1-2=y+2-3=z-54 são retas coplanares.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r está em forma paramétrica
x=3t+7, y=2t+2, z=-2t+1,
e s em forma simétrica
x-1-2=y+2-3=z-54
Queremos mostrar que são coplanares, ou seja, que se intersectam (pois duas retas que se cruzam definem um plano).

Passo 2

Parametrizamos s com um parâmetro u. Da igualdade
x-1-2=y+2-3=z-54=u
segue-se o sistema paramétrico
x=1-2u, y=-2-3u, z=5+4u

Passo 3

Para encontrar um possível ponto em comum, igualamos as coordenadas de r(t) e s(u), obtendo o sistema
3t+7=1-2u, 2t+2=-2-3u, -2t+1=5+4u

Passo 4

Usamos as duas primeiras equações para resolver
Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 2:
subtraindo vem
Substituindo em (3t+2u=-6] dá

Passo 5

Verificamos na terceira equação:
-2(-2)+1=5 e 5+4cdot0=5,
logo r(-2)=s(0)=(1,-2,5). As retas se intersectam nesse ponto e, portanto, são coplanares.

Resposta

Como r(-2)=s(0)=(1,-2,5), as retas se cruzam nesse ponto e, consequentemente, são coplanares.

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