Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
é paralelo ao eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta interseção dos planos alpha e beta, definidas por
alpha: 3x - y + 2z + 9 = 0,
beta: x + z - 3 = 0,
e que seja paralelo ao eixo y. Para resolver, vamos usar a família projetiva de planos que contêm essa reta, obtida por combinação linear de alpha e beta, e a condição de paralelismo de um plano a uma direção, que exige ortogonalidade entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da direção.

Passo 2

Qualquer plano que contenha a reta interseção de alpha e beta pode ser escrito como combinação linear não trivial:
p,(3x - y + 2z + 9);+;q,(x + z - 3);=;0,
onde p e q são reais não simultaneamente nulos.

Passo 3

O vetor normal desse plano é
n ;=;(3p+q,; -p,; 2p+q)
Para que o plano seja paralelo ao eixo y, cujo vetor diretor é (0,1,0), precisamos de
ncdot(0,1,0)=0 Longrightarrow -p=0 Longrightarrow p=0

Passo 4

Com p=0 e qneq0, a equação do plano reduz-se a
q,(x+z-3)=0,
e, dividindo por q, obtemos
x + z - 3 = 0

Resposta

x + z - 3 = 0

Exercícios relacionados