Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar a equação da hipérbole na forma canônica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como identificar o centro, vértices, focos, assíntotas e esboçar o gráfico.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para isolarmos os termos de
e
.
Agora, dividimos ambos os lados por 16 para deixar a equação na forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 3
A equação obtida está na forma canônica da hipérbole:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que
e
. Portanto, o centro da hipérbole é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Esses valores nos ajudam a determinar os vértices e as assíntotas da hipérbole.
Passo 5
Os vértices da hipérbole estão a uma distância
do centro ao longo do eixo transversal. Como o termo
é positivo, o eixo transversal é paralelo ao eixo
. Portanto, os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Os focos também estão ao longo do eixo transversal:
Passo 7
As assíntotas da hipérbole são retas que passam pelo centro e têm inclinação
. Calculando:
Portanto, as equações das assíntotas são:
Passo 8
Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico da hipérbole. O centro está na origem
, os vértices em
e
, os focos em
e
, e as assíntotas são as retas
e
.
Resposta
A equação da hipérbole na forma canônica é
. Seu centro está em
, os vértices são
e
, os focos estão em
e
. As assíntotas são as retas
e
. O gráfico apresenta uma hipérbole com eixo transversal ao longo do eixo
, conforme descrito.