Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico. 4 x^2-y^2-16=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar a equação da hipérbole na forma canônica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como identificar o centro, vértices, focos, assíntotas e esboçar o gráfico.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para isolarmos os termos de 4x^2 - y^2 = 16 e 4x^216 - y^216 = 1.
x^24 - y^216 = 1
Agora, dividimos ambos os lados por 16 para deixar a equação na forma padrão:
Simplificando as frações:

Passo 3

A equação obtida está na forma canônica da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação , percebemos que e . Portanto, o centro da hipérbole é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de a^2 = 4 Rightarrow a = 2 b^2 = 16 Rightarrow b = 4 e :
Esses valores nos ajudam a determinar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

Passo 5

Os vértices da hipérbole estão a uma distância V1 = (h + a, k) = (0 + 2, 0) = (2, 0) V2 = (h - a, k) = (0 - 2, 0) = (-2, 0) do centro ao longo do eixo transversal. Como o termo é positivo, o eixo transversal é paralelo ao eixo . Portanto, os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 4 + 16 = 20 c = raiz20 = 2raiz5
Os focos também estão ao longo do eixo transversal:
F1 = (h + c, k) = (0 + 2raiz5, 0) F2 = (h - c, k) = (0 - 2raiz5, 0)

Passo 7

As assíntotas da hipérbole são retas que passam pelo centro e têm inclinação m = ba = 42 = 2 . Calculando:
y = 2x y = -2x
Portanto, as equações das assíntotas são:

Passo 8

Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico da hipérbole. O centro está na origem , os vértices em e , os focos em e , e as assíntotas são as retas e .

Resposta

A equação da hipérbole na forma canônica é . Seu centro está em , os vértices são e , os focos estão em e . As assíntotas são as retas e . O gráfico apresenta uma hipérbole com eixo transversal ao longo do eixo , conforme descrito.

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