Sabendo que o ponto
pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, admita também que
é equidistante de
e
. Determine a soma das coordenadas do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ponto
que está na bissetriz dos quadrantes ímpares e que está equidistante dos pontos
e
. Nosso objetivo é encontrar a soma das coordenadas de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação da bissetriz dos quadrantes e a fórmula da distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta que divide o ângulo formado pelos quadrantes I e III ao meio. Essa bissetriz é representada pela equação
.
Passo 3
Sabendo que
está na bissetriz dos quadrantes ímpares, sabemos que as coordenadas de
obedecem a relação
. Então, podemos dizer que
.
Passo 4
Agora, como
é equidistante de
e
, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos. A distância entre
e
deve ser igual à distância entre
e
.
A distância entre
e
:
A distância entre
e
:
Igualando as duas distâncias:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Perceba que
aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Então, as coordenadas de
são
.
Resposta
A soma das coordenadas de
é
.