Sabendo que o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, admita também que P é equidistante de A(3,0) e B(6,3). Determine a soma das coordenadas do ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ponto que está na bissetriz dos quadrantes ímpares e que está equidistante dos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a soma das coordenadas de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação da bissetriz dos quadrantes e a fórmula da distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta que divide o ângulo formado pelos quadrantes I e III ao meio. Essa bissetriz é representada pela equação .

Passo 3

Sabendo que está na bissetriz dos quadrantes ímpares, sabemos que as coordenadas de obedecem a relação . Então, podemos dizer que .

Passo 4

Agora, como raiz(x - 3)^2 + (x - 0)^2 é equidistante de raiz(x - 6)^2 + (x - 3)^2 e raiz(x - 3)^2 + x^2 = raiz(x - 6)^2 + (x - 3)^2 , podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos. A distância entre e deve ser igual à distância entre e .
A distância entre e :
A distância entre e :
Igualando as duas distâncias:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 3)^2 + x^2 = (x - 6)^2 + (x - 3)^2
Simplificando:
(x - 3)^2 + x^2 = (x - 6)^2 + (x - 3)^2
Perceba que x^2 = (x - 6)^2 aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
x^2 = x^2 - 12x + 36
Expandindo o lado direito:
0 = -12x + 36
Subtraindo 12x = 36 implies x = 3 de ambos os lados:
Resolvendo para :
Então, as coordenadas de são .

Resposta

A soma das coordenadas de é .

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