Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, especificamente o estudo das conicas, mais precisamente a hipérbole. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e as fórmulas para encontrar seus vértices, focos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação. A equação dada é
. Isso é da forma padrão da hipérbole vertical, que é:
Aqui,
, então
, e
, então
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para a hipérbole vertical, os vértices estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro. Como o centro está na origem
, os vértices serão:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os focos da hipérbole. A distância dos focos do centro é dada por
, onde:
Portanto, os focos estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro:
Passo 5
Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando se estende ao infinito. Para a hipérbole vertical, as equações das assíntotas são:
Substituindo os valores de
e
:
Então, as assíntotas são as linhas:
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço da hipérbole. Sabemos que a hipérbole é vertical, com vértices em
e
, focos em
e
, e as assíntotas são as linhas
e
. No gráfico, a hipérbole irá se abrir para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se estende para o infinito.
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
, os focos são
e
, e as assíntotas são as linhas
e
. O esboço da hipérbole apresenta-se abrindo-se verticalmente, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.