Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
y^2/144 - x^2/25 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada pela equação y^2/144 - x^2/25 = 1. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, especificamente o estudo das conicas, mais precisamente a hipérbole. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e as fórmulas para encontrar seus vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação. A equação dada é y^2/144 - x^2/25 = 1. Isso é da forma padrão da hipérbole vertical, que é:
Aqui, , então , e , então .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para a hipérbole vertical, os vértices estão localizados a uma distância a acima e abaixo do centro. Como o centro está na origem (0,0), os vértices serão:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os focos da hipérbole. A distância dos focos do centro é dada por c, onde:
Portanto, os focos estão localizados a uma distância c acima e abaixo do centro:

Passo 5

Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando se estende ao infinito. Para a hipérbole vertical, as equações das assíntotas são:
Substituindo os valores de a e b:
Então, as assíntotas são as linhas:

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço da hipérbole. Sabemos que a hipérbole é vertical, com vértices em e , focos em e , e as assíntotas são as linhas e . No gráfico, a hipérbole irá se abrir para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se estende para o infinito.

Resposta

Os vértices da hipérbole são e , os focos são e , e as assíntotas são as linhas e . O esboço da hipérbole apresenta-se abrindo-se verticalmente, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

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