Encontre a equação do movimento de um foguete disparado verticalmente para cima considerando
constante. Encontre a razão entre a massa de combustível e a da carcaça para que o foguete alcance uma velocidade final igual a velocidade de escape da Terra
, considerando-se que a velocidade de exaustão do gás é
(
constante) e a taxa de exaustão é
. Determine o valor numérico da relação combustível-carcaça para o caso em que
, e
é igual a
da massa inicial de combustível por segundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do movimento de um foguete que está decolando verticalmente para cima, considerando que a aceleração da gravidade
é constante. Além disso, precisamos descobrir a relação entre a massa do combustível e a massa da carcaça do foguete para que ele atinja a velocidade de escape da Terra,
. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento dos foguetes, como a equação de Tsiolkovsky. Também vamos considerar que a velocidade de exaustão dos gases é
, onde
é uma constante, e que a taxa de exaustão de massa é
. No final, vamos calcular essa relação para
e
igual a 1% da massa inicial de combustível por segundo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do movimento do foguete. Quando o foguete sobe, ele precisa vencer a gravidade e também ganhar velocidade. A equação que descreve esse movimento leva em conta a força de empuxo gerada pela queima do combustível e a força da gravidade que puxa o foguete para baixo.
A força de empuxo
é dada por:
onde
é a taxa de exaustão de massa (quantidade de massa que sai por segundo) e
é a velocidade de exaustão dos gases.
A força da gravidade que age no foguete é:
onde
é a massa do foguete e
é a aceleração da gravidade.
A equação do movimento fica então:
onde
é a aceleração do foguete.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a equação de Tsiolkovsky, que nos ajuda a relacionar a variação de massa do foguete com a velocidade que ele pode alcançar. A equação de Tsiolkovsky é:
onde
é a variação de velocidade do foguete,
é a velocidade de exaustão dos gases,
é a massa do foguete com todo o combustível, e
é a massa do foguete sem o combustível.
Queremos que
seja igual à velocidade de escape da Terra,
. Então, temos:
Passo 4
Precisamos encontrar a relação entre a massa do combustível (
) e a massa da carcaça (
). Sabemos que:
e
Substituindo na equação de Tsiolkovsky:
Queremos encontrar a razão
.
Substituindo
, onde
:
Simplificando:
Portanto:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos inserir os valores numéricos fornecidos no problema. Sabemos que
e que a taxa de exaustão
é igual a 1% da massa inicial de combustível por segundo.
Substituindo
na relação que encontramos:
Calculando
:
Então:
Resposta
A relação entre a massa de combustível e a massa da carcaça necessária para que o foguete atinja a velocidade de escape da Terra é aproximadamente
.