Encontre a equação do movimento de um foguete disparado verticalmente para cima considerando g constante. Encontre a razão entre a massa de combustível e a da carcaça para que o foguete alcance uma velocidade final igual a velocidade de escape da Terra (ve), considerando-se que a velocidade de exaustão do gás é K ve ( K= constante) e a taxa de exaustão é dotm. Determine o valor numérico da relação combustível-carcaça para o caso em que K=1 / 4, e dotm é igual a 1 % da massa inicial de combustível por segundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do movimento de um foguete que está decolando verticalmente para cima, considerando que a aceleração da gravidade g é constante. Além disso, precisamos descobrir a relação entre a massa do combustível e a massa da carcaça do foguete para que ele atinja a velocidade de escape da Terra, ve. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento dos foguetes, como a equação de Tsiolkovsky. Também vamos considerar que a velocidade de exaustão dos gases é K ve, onde K é uma constante, e que a taxa de exaustão de massa é dotm. No final, vamos calcular essa relação para K = 1/4 e dotm igual a 1% da massa inicial de combustível por segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do movimento do foguete. Quando o foguete sobe, ele precisa vencer a gravidade e também ganhar velocidade. A equação que descreve esse movimento leva em conta a força de empuxo gerada pela queima do combustível e a força da gravidade que puxa o foguete para baixo.
A força de empuxo F é dada por:
F = dotm vex
onde dotm é a taxa de exaustão de massa (quantidade de massa que sai por segundo) e vex é a velocidade de exaustão dos gases.
A força da gravidade que age no foguete é:
Fgravidade = m g
onde m é a massa do foguete e g é a aceleração da gravidade.
A equação do movimento fica então:
F - Fgravidade = m a
onde a é a aceleração do foguete.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a equação de Tsiolkovsky, que nos ajuda a relacionar a variação de massa do foguete com a velocidade que ele pode alcançar. A equação de Tsiolkovsky é:
De
onde De é a variação de velocidade do foguete, vex é a velocidade de exaustão dos gases, minicial é a massa do foguete com todo o combustível, e mfinal é a massa do foguete sem o combustível.
Queremos que De seja igual à velocidade de escape da Terra, ve. Então, temos:
ve = vex ln ( minicialmfinal )

Passo 4

Precisamos encontrar a relação entre a massa do combustível ( mcomb) e a massa da carcaça ( mcarc). Sabemos que:
minicial = mcarc + mcomb
e
mfinal = mcarc
Substituindo na equação de Tsiolkovsky:
ve = vex ln ( mcarc + mcombmcarc )
Queremos encontrar a razão mcombmcarc.
Substituindo vex = K ve, onde K = 14:
ve = K ve ln ( 1 + mcombmcarc )
Simplificando:
1 = K ln ( 1 + mcombmcarc )
Portanto:
ln ( 1 + mcombmcarc ) = 1K
Elevando ambos os lados como potência de e:
1 + mcombmcarc = e^1K
Então:
mcombmcarc = e^1K - 1

Passo 5

Agora, vamos inserir os valores numéricos fornecidos no problema. Sabemos que K = 14 e que a taxa de exaustão dotm é igual a 1% da massa inicial de combustível por segundo.
Substituindo K = 14 na relação que encontramos:
mcombmcarc = e^4 - 1
Calculando e^4:
e^4 approx 54.598
Então:
mcombmcarc approx 54.598 - 1 = 53.598

Resposta

A relação entre a massa de combustível e a massa da carcaça necessária para que o foguete atinja a velocidade de escape da Terra é aproximadamente 53,6.

Exercícios relacionados