Encontre a equação paramétrica do plano que passa pelos pontos A(0,0,0), B(1,0,2) e C(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica do plano que contém os pontos A(0,0,0), B(1,0,2) e C(0,1,1). Para escrever uma equação paramétrica de plano, precisamos de um ponto qualquer nele (aqui podemos usar A) e de dois vetores diretores que sejam lineares independentes. Esses vetores obtêm-se subtraindo as coordenadas: por exemplo, \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.

Passo 2

Calculemos os vetores diretores:
\overrightarrow{AB} = (1-0,\;0-0,\;2-0) = (1,0,2),
\overrightarrow{AC} = (0-0,\;1-0,\;1-0) = (0,1,1).
Eles não são colineares (não há \lambda tal que (1,0,2)=\lambda(0,1,1)), logo servem como diretores do plano.

Passo 3

A equação vetorial do plano, tomando A como ponto de apoio e s,t\in\mathbb{R} como parâmetros, é
\vec r(s,t) = \overrightarrow{OA} + s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC}
onde \overrightarrow{OA} = (0,0,0). Logo
\vec r(s,t) = s\,(1,0,2) + t\,(0,1,1).
Escrevendo componente a componente, temos
x = s,\quad y = t,\quad z = 2s + t.

Resposta

A equação paramétrica do plano é
\begin{cases} x = s,\\\ y = t,\\\ z = 2s + t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

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