Exercício 5.5.11. Sejam
e
bases ordenadas de um espaço vetorial
de dimensão
. Mostre que
a)
b)
, ou seja,
e
são matrizes inversas.
a)
b)
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
de dimensão
e duas bases ordenadas
e
. Queremos mostrar:
a) .
b) , ou seja, as matrizes de mudança de coordenadas entre
e
são inversas.
a)
b)
Passo 2
Lembrando que, para um operador linear
, a sua matriz
tem como
-ésima coluna as coordenadas de
(na base
). No caso
, tem-se
cujas coordenadas em
são exatamente o vetor padrão
(único 1 na posição
e zeros nas outras). Logo cada coluna de
é
, ou seja,
Passo 3
Usamos a propriedade de composição de matrizes de operadores lineares:
Tomando
e
, mas interpretando as mudança de base
, obtemos
Como
e já vimos em (a) que
, segue
Isso mostra que
e
são matrizes inversas.
Resposta
a)
.
b) .
b)