Exercício 5.5.11. Sejam \alpha e \beta bases ordenadas de um espaço vetorial V de dimensão n. Mostre que
a) [I d]_{\alpha}^{\alpha}=I d_{n \times n}
b) [I d]_{\beta}^{\alpha}[I d]_{\alpha}^{\beta}=I d_{n \times n}, ou seja, [I d]_{\beta}^{\alpha} e [I d]_{\alpha}^{\beta} são matrizes inversas.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V de dimensão n e duas bases ordenadas \alpha=(v_{1},\dots,v_{n}) e \beta=(w_{1},\dots,w_{n}). Queremos mostrar:
a) [\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n}.
b) [\,\mathrm{Id}\,]_{\beta}^{\alpha}\,[\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\beta}=I_{n}, ou seja, as matrizes de mudança de coordenadas entre \alpha e \beta são inversas.

Passo 2

Lembrando que, para um operador linear T\colon V\to V, a sua matriz [T]_{\alpha}^{\alpha} tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(v_{j}) (na base \alpha). No caso T=\mathrm{Id}, tem-se
\mathrm{Id}(v_{j})=v_{j},
cujas coordenadas em \alpha são exatamente o vetor padrão \mathbf e_{j} (único 1 na posição j e zeros nas outras). Logo cada coluna de [\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\alpha} é \mathbf e_{j}, ou seja,
[\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\alpha} =\bigl[\mathbf e_{1}\,\mathbf e_{2}\,\cdots\,\mathbf e_{n}\bigr] =I_{n}.

Passo 3

Usamos a propriedade de composição de matrizes de operadores lineares:
[\,S\circ T\,]_{\alpha}^{\gamma} =[\,S\,]_{\beta}^{\gamma}\,[\,T\,]_{\alpha}^{\beta}.
Tomando S=\mathrm{Id} e T=\mathrm{Id}, mas interpretando as mudança de base \alpha\to\beta\to\alpha, obtemos
[\,\mathrm{Id}\circ\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\alpha} =[\,\mathrm{Id}\,]_{\beta}^{\alpha}\,[\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\beta}.
Como \mathrm{Id}\circ\mathrm{Id}=\mathrm{Id} e já vimos em (a) que [\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n}, segue
[\,\mathrm{Id}\,]_{\beta}^{\alpha}\,[\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\beta} =I_{n}.
Isso mostra que [\,\mathrm{Id}\,]_{\beta}^{\alpha} e [\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\beta} são matrizes inversas.

Resposta

a) [\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n}.
b) [\,\mathrm{Id}\,]_{\beta}^{\alpha}[\,\mathrm{Id}\,]_{\alpha}^{\beta}=I_{n}.

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