Qual intervalo de convergência real da série
: (25 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência real da série $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n} $. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e sua convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência e depois verificar quais valores de $ x $ fazem a série convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência $ R $ da série. A fórmula do Teste da Razão é:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aqui, os termos da nossa série são $ a_n = \frac{(x-3)^n}{n} $. Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Passo 4
Agora, encontramos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Isso implica que:
Então, o intervalo de convergência preliminar é $ 2 < x < 4 $.
Passo 6
Agora, precisamos verificar os pontos finais $ x = 2 $ e $ x = 4 $ para ver se a série converge nesses pontos.
- Para $ x = 2 $:
Essa é a série alternada $ \sum \frac{(-1)^n}{n} $, que converge pela Alternância (Teste de Leibniz).
- Para $ x = 4 $:
Essa é a série harmônica $ \sum \frac{1}{n} $, que diverge.
Resposta
Portanto, o intervalo de convergência real da série é $ 2 \leq x < 4 $. A alternativa correta é a e) $ 2 \leq x < 4 $.