Qual intervalo de convergência real da série sumn=0^+infty (x-3)^nn: (25 pontos)
a) 2
b) 2 <= x <= 4
c) 2
d) -2
e) 2 <= x<4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência real da série $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n} $. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e sua convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência e depois verificar quais valores de $ x $ fazem a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência $ R $ da série. A fórmula do Teste da Razão é:
R
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui, os termos da nossa série são $ a_n = \frac{(x-3)^n}{n} $. Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an = (x-3)^nn

Passo 4

Agora, encontramos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso implica que:
|x - 3| < 1
Então, o intervalo de convergência preliminar é $ 2 < x < 4 $.

Passo 6

Agora, precisamos verificar os pontos finais $ x = 2 $ e $ x = 4 $ para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para $ x = 2 $:
x = 2
Essa é a série alternada $ \sum \frac{(-1)^n}{n} $, que converge pela Alternância (Teste de Leibniz).
  • Para $ x = 4 $:
x = 4
Essa é a série harmônica $ \sum \frac{1}{n} $, que diverge.

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência real da série é $ 2 \leq x < 4 $. A alternativa correta é a e) $ 2 \leq x < 4 $.

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