Encontre a interseção entre o plano e a reta:
P: x+y-3z=1 e r=lang<= 1,0,-3rang<=+tlang<= 0,1,-17rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar onde uma reta e um plano se cruzam. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre interseção entre planos e retas. Para isso, vamos precisar das equações do plano e da reta, e saber como substituir os parâmetros para achar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  • O plano é dado por: P: x + y - 3z = 1
  • A reta é dada por: r = lang<= 1, 0, -3 rang<= + tlang<= 0, 1, -17 rang<=
Aqui, t é um parâmetro que varia e nos ajuda a encontrar diferentes pontos na reta.

Passo 3

Vamos escrever as equações paramétricas da reta. A reta está descrita como um ponto de partida lang<= 1, 0, -3 rang<= mais t vezes a direção lang<= 0, 1, -17 rang<=. Isso dá:
x = 1 + 0t = 1 y = 0 + 1t = t z = -3 + (-17)t = -3 -17t

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de x, y e z da reta na equação do plano. Isso vai nos ajudar a encontrar o valor de t que faz com que o ponto da reta esteja no plano.
Substituindo:
x + y - 3z = 1 1 + t - 3(-3 -17t) = 1

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
1 + t + 9 + 51t = 1 (1 + 9) + (t + 51t) = 1 10 + 52t = 1

Passo 6

Agora, resolvemos para t:
52t = 1 - 10 52t = -9 t = -952

Passo 7

Com o valor de t, vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo t nas equações paramétricas da reta:
x = 1 y = t = -952 z = -3 -17t = -3 -17(-952) = -3 + 15352
Simplificando z:
z = -15652 + 15352 = -352

Resposta

A interseção entre o plano P e a reta r ocorre no ponto (1, dfrac-952, dfrac-352).

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