Questão 3
Sejam B1=(1,0),(0,1) e B2=(raiz5,-1),(raiz5, 1) duas bases de R^2.
Ache a matriz mudança de base [I]B2^B1

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B1 = (1,0),(0,1) (base canônica) e
B2 = (raiz5,-1),(raiz5,1).
Queremos a matriz de mudança de base
[I]B2^B1, ou seja, a matriz do operador identidade que leva coordenadas em B2 para coordenadas em B1.

Passo 2

Para um operador linear T, a matriz [T]D^C tem, em sua j-ésima coluna, as coordenadas de T(dj) na base de chegada C, onde dj é o j-ésimo vetor da base de partida D.
Aqui T=I, a base de partida é B2 e a de chegada é B1. Então cada coluna será simplesmente o vetor de B2 expresso na base canônica B1.

Passo 3

Como B1 é a base canônica, a coordenada de
(raiz5,-1)
é o próprio vetor coluna raiz5-1,
e a coordenada de
(raiz5,1)
é raiz51.
Logo, essas duas colunas formam a matriz de mudança de base.

Resposta

[I]B2^B1 = raiz5 & raiz5 -1 & 1

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