Para os pares de pontos abaixo, determine as equações paramétricas da reta que passam por eles e o intervalo do parâmetro t que dá o segmento de reta que os liga.
(a) P(-3,2,-3) e Q(1,-1,4)

Passo 1

A questão quer achar a forma paramétrica da reta em R^3 que passa por P(-3,2,-3) e Q(1,-1,4), além de definir o intervalo de t que corresponde ao segmento PQ. Vamos usar o conceito de vetor diretor e a representação r= r0+t v.

Passo 2

Para achar o vetor diretor v, subtraímos as coordenadas de P das de Q:
v=Q-P=(1-(-3),,-1-2,,4-(-3))=(4,-3,7)
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, escolhemos P como ponto inicial r0=(-3,2,-3) e escrevemos as equações paramétricas da reta:
x(t)=-3+4t, y(t)=2-3t, z(t)=-3+7t
Na teoria, t varia em todo R para a reta completa.

Passo 4

Para obter apenas o segmento que une P a Q, notamos que em t=0 temos P e em t=1 temos Q. Portanto, o intervalo de t é
0<= t<=1

Passo 5

A reta completa tem essas equações paramétricas, e o segmento PQ corresponde a tin[0,1].

Resposta

As equações paramétricas são
$$
x=-3+4t,\quad y=2-3t,\quad z=-3+7t,\quad t\in[0,1].$$

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