Para os pares de pontos abaixo, determine as equações paramétricas da reta que passam por eles e o intervalo do parâmetro t que dá o segmento de reta que os liga.
(b) P(1,-5,2) e Q(0,2,7)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta em R^3 que passa pelos pontos P(1,-5,2) e Q(0,2,7), além de determinar o intervalo de t que gera exatamente o segmento PQ. Para isso, vamos usar a ideia de representar a reta como r(t)= P + t( Q - P), onde Q - P é o vetor diretor.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor subtraindo as coordenadas de P das de Q:
Para o ponto P(1,-5,2) e Q(0,2,7) temos
vec v = Q - P = (0-1,;2-(-5),;7-2) = (-1,;7,;5)

Passo 3

Agora escrevemos as equações paramétricas usando r(t)= P + tvec v:
x = 1 + tcdot(-1) = 1 - t, y = -5 + tcdot7 = -5 + 7t, z = 2 + tcdot5 = 2 + 5t

Passo 4

Para que r(t) vá de P a Q, basta escolher t=0 em P e t=1 em Q. Portanto o parâmetro que gera o segmento é
tin[0,1]

Resposta

As equações paramétricas da reta são
x = 1 - t, y = -5 + 7t, z = 2 + 5t,
com o intervalo de parâmetro
t\in[0,1]
que gera o segmento de reta de P a Q.

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