Encontre a equação do plano pi que contém os pontos:
P1=(5,0,-4), P2=(4,3,-6) e P3=(13,0,0)
Preencha as lacunas com os coeficientes da equação geral do plano, considerando o coeficiente em x igual a 1.
pi: x+square y+square=square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa por três pontos: P1=(5,0,-4) , P2=(4,3,-6) e P3=(13,0,0) . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar achar dois vetores que estão no plano e depois usar o produto vetorial para encontrar a normal do plano. Por fim, vamos montar a equação do plano com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores P1P2 e P1P3 :
P1P2 = P2 - P1 = (4-5, 3-0, -6-(-4)) = (-1, 3, -2)
P1P3 = P3 - P1 = (13-5, 0-0, 0-(-4)) = (8, 0, 4)

Passo 3

Agora que temos os vetores P1P2 = (-1, 3, -2) e P1P3 = (8, 0, 4) , vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial n = P1P2 times P1P3 é calculado da seguinte forma:
n = i & j & k -1 & 3 & -2 8 & 0 & 4 = i(3 cdot 4 - (-2) cdot 0) - j((-1) cdot 4 - (-2) cdot 8) + k((-1) cdot 0 - 3 cdot 8)
n = i(12 - 0) - j(-4 + 16) + k(0 - 24) = (12, -12, -24)

Passo 4

Observamos que o vetor normal n = (12, -12, -24) pode ser simplificado dividindo cada componente por 12:
n = (1, -1, -2)
Então, os coeficientes da equação geral do plano são A = 1 , B = -1 e C = -2 .

Passo 5

Agora, usamos a forma geral da equação do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Podemos usar qualquer um dos pontos dados para (x0, y0, z0) . Vou usar P1 = (5, 0, -4) :
1(x - 5) -1(y - 0) -2(z + 4) = 0
Simplificando:
x - 5 - y - 2z - 8 = 0
x - y - 2z - 13 = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
pi: x - y - 2z = 13

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