Encontre o ponto de interseção entre as retas:
r:(x, y, z)=(-7,4,14)+tr(4,-4,-4)
e
s:(x, y, z)=(-1,4,5)+ts(-2,8,-1)
r cap s=(square, square)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o ponto onde duas retas se cruzam no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente sobre interseção de retas. Para resolver, vamos precisar igualar as equações paramétricas das duas retas e achar os valores dos parâmetros que fazem as coordenadas x, y e z serem iguais nas duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas:
Para a reta [r):
Para a reta (s]:

Passo 3

Agora, vamos igualar as coordenadas correspondentes das duas retas para encontrar os valores de tr e ts que fazem as retas se cruzarem:
-7 + 4tr = -1 - 2ts (1)
4 - 4tr = 4 + 8ts (2)
14 - 4tr = 5 - ts (3)

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos pela equação (2):
4 - 4tr = 4 + 8ts
Subtraindo 4 de ambos os lados:
-4tr = 8ts
Dividindo ambos os lados por 4:
-tr = 2ts Rightarrow tr = -2ts

Passo 5

Agora que temos tr = -2ts , substituímos esse valor na equação (1):
-7 + 4(-2ts) = -1 - 2ts
-7 - 8ts = -1 - 2ts
Somando 8ts em ambos os lados:
-7 = -1 + 6ts
Adicionando 1 em ambos os lados:
-6 = 6ts
Dividindo por 6:
ts = -1

Passo 6

Agora que sabemos que ts = -1 , vamos encontrar tr usando tr = -2ts :
tr = -2(-1) = 2

Passo 7

Com os valores de tr e ts em mãos, substituímos em uma das equações das retas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção. Vamos usar a reta r :
x = -7 + 4(2) = -7 + 8 = 1
y = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4
z = 14 - 4(2) = 14 - 8 = 6

Resposta

O ponto de interseção entre as retas r e s é (1, -4, 6).

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