Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente. Vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
e
para achar a inclinação do plano nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a um gráfico de uma função
no ponto
tem a equação:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Então, nosso primeiro passo é encontrar essas derivadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos calcular
, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular
:
Passo 6
Com todas as informações, podemos montar a equação do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Passo 8
Finalmente, organizando os termos:
Resposta
A equação do plano tangente é: