Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=arctan (x-2 y) no ponto P0(2,1 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = arctan(x - 2y) no ponto P0(2, 12) . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente. Vamos precisar calcular as derivadas de f em relação a x e y para achar a inclinação do plano nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a um gráfico de uma função f(x, y) no ponto (x0, y0) tem a equação:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente. Então, nosso primeiro passo é encontrar essas derivadas no ponto P0(2, 12) .

Passo 3

Vamos calcular fx(x, y) , que é a derivada de f em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x arctan(x - 2y) = 11 + (x - 2y)^2 cdot 1 = 11 + (x - 2y)^2
Agora, vamos calcular fy(x, y) , a derivada de f em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y arctan(x - 2y) = 11 + (x - 2y)^2 cdot (-2) = -21 + (x - 2y)^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto P0(2, 12) :
Primeiro, calculamos x0 - 2y0 :
2 - 2 cdot 12 = 2 - 1 = 1
Então,
fx(2, 12) = 11 + (1)^2 = 12
fy(2, 12) = -21 + (1)^2 = -22 = -1

Passo 5

Agora, precisamos calcular f(2, 12) :
f(2, 12) = arctan(2 - 2 cdot 12) = arctan(2 - 1) = arctan(1) = pi4

Passo 6

Com todas as informações, podemos montar a equação do plano tangente:
z = f(2, 12) + fx(2, 12)(x - 2) + fy(2, 12)(y - 12)
Substituindo os valores:
z = pi4 + 12(x - 2) - 1(y - 12)

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
z = pi4 + 12x - 1 + (-y + 12)
z = pi4 - 1 + 12x - y + 12
z = pi4 - 12 + 12x - y

Passo 8

Finalmente, organizando os termos:
z = 12x - y + (pi4 - 12)

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = 12x - y + (pi4 - 12)

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