PROBLEMAS PARA DISCUSSÃO
- Releia o segundo parágrafo após o Exemplo 2. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem para a qual todas as soluções não constantes se aproximam da assíntota horizontal
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para construir uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral seja tal que, para qualquer solução não constante, tenhamos
O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Lembrando que a forma geral de uma equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes é
onde
e
são constantes. Buscamos escolher
e
de modo que a solução tenda a 4 quando
.
Passo 3
Suponha que a solução geral tenha a forma
onde
é constante de integração. Calculando a derivada,
Logo, substituindo em
, obtém-se
ou seja,
.
Passo 4
Concluímos que a equação
tem solução geral
, que satisfaz
sempre que
. Para simplificar, basta tomar
.