PROBLEMAS PARA DISCUSSÃO

  1. Releia o segundo parágrafo após o Exemplo 2. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem para a qual todas as soluções não constantes se aproximam da assíntota horizontal y=4 quando x infty.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral seja tal que, para qualquer solução não constante, tenhamos
limxtoinftyy(x)=4
O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Lembrando que a forma geral de uma equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes é
y' + k,y = q,
onde k e q são constantes. Buscamos escolher k>0 e q de modo que a solução tenda a 4 quando xtoinfty.

Passo 3

Suponha que a solução geral tenha a forma
y(x)=4 + C e^-k x,
onde C é constante de integração. Calculando a derivada,
y'(x) = -k,C e^-k x = -kl(y(x)-4r)
Logo, substituindo em y' + k,y = q, obtém-se
-k(y-4) + k,y = q Longrightarrow kcdot4 = q,
ou seja, q=4k.

Passo 4

Concluímos que a equação
y' + k,y = 4k
tem solução geral y=4 + C e^-k x, que satisfaz limxtoinftyy(x)=4 sempre que k>0. Para simplificar, basta tomar k=1.

Resposta

y' + y = 4

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