Encontre a equação do plano tangente á superfície x y+x z+y z=3 no ponto P0(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
F(x,y,z) = xy + xz + yz - 3 = 0
e pede o plano tangente em P0(1,1,1). Vamos usar que, para superfícies definidas por F(x,y,z)=0, o vetor normal ao plano tangente é o gradiente nabla F.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x = y + z,
partial Fpartial y = x + z,
partial Fpartial z = x + y

Passo 3

Avaliamo-las em P0(1,1,1):
partial Fpartial x(1,1,1) = 1 + 1 = 2,
partial Fpartial y(1,1,1) = 1 + 1 = 2,
partial Fpartial z(1,1,1) = 1 + 1 = 2

Passo 4

A equação geral do plano tangente em (x0,y0,z0) é
Fx(x0,y0,z0),(x-x0) + Fy(x0,y0,z0),(y-y0) + Fz(x0,y0,z0),(z-z0) = 0
Substituindo x0=y0=z0=1 e os valores do gradiente, vem
2(x-1) + 2(y-1) + 2(z-1) = 0
Dividindo por 2 e simplificando:
(x-1)+(y-1)+(z-1)=0 Longrightarrow x + y + z - 3 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
x + y + z = 3

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