Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty (-1)^n(n+2)!n!10^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n(n+2)!n!10^n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar critérios de convergência de séries, em especial o teste da razão para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Observamos que
(n+2)!n! = (n+2)(n+1)
Logo, o n-ésimo termo da série pode ser escrito como
an = (-1)^n,(n+2)(n+1)10^n

Passo 3

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty (n+2)(n+1)10^n
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty |an+1||an| = limntoinfty (n+3)(n+2)10^,n+1 (n+2)(n+1)10^n = limntoinfty n+310,(n+1) = 110
Como L = tfrac110 < 1, a série sum |an| converge.

Passo 4

A convergência da série de termos absolutos implica que a série original converge absolutamente. Portanto não se trata de convergência condicional nem de divergência.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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