Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=2^infty (-1)^nraizn^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=2^infty(-1)^nraizn^2-1
e classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve dois testes principais:
  1. teste de comparação (ou de limite) para verificar convergência absoluta, e
  2. teste de Leibniz para séries alternantes, que garante convergência quando os termos em módulo são decrescentes e tendem a zero.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
sumn=2^inftygl|(-1)^nraizn^2-1gr|=sumn=2^infty1raizn^2-1.
Para n grande, raizn^2-1sim n, então é natural comparar com sum1/n. Fazendo o teste de comparação por limite:
limntoinfty1raizn^2-11n =limntoinftynraizn^2-1=1neq0
Como sum1/n diverge (série harmônica), a nossa também diverge. Logo, não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora usamos o teste de Leibniz para verificar convergência condicional. Seja
an=1raizn^2-1.
  1. Para todo n>=2, an>0.
  2. A sequência (an) é decrescente, pois à medida que n cresce o denominador raizn^2-1 cresce.
  3. limntoinftyan=limntoinfty1raizn^2-1=0.
    Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante
    sum(-1)^nan converge. Como não converge absolutamente, a convergência é condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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