Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
e classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve dois testes principais:
teste de comparação (ou de limite) para verificar convergência absoluta, e
teste de Leibniz para séries alternantes, que garante convergência quando os termos em módulo são decrescentes e tendem a zero.
Passo 2
Analisando a convergência absoluta, consideramos .
Para n grande, raizn^2-1sim n, então é natural comparar com sum1/n. Fazendo o teste de comparação por limite:
Como sum1/n diverge (série harmônica), a nossa também diverge. Logo, não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora usamos o teste de Leibniz para verificar convergência condicional. Seja an=1raizn^2-1.
Para todo n>=2, an>0.
A sequência (an) é decrescente, pois à medida que n cresce o denominador raizn^2-1 cresce.
limntoinftyan=limntoinfty1raizn^2-1=0.
Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante sum(-1)^nan converge. Como não converge absolutamente, a convergência é condicional.