Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y, z, w)=\tan \left(e^{y^{2} z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z,w)=\tan\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr).
Vamos usar a regra da cadeia, observando que há duas composições: primeiro u=e^{y^{2}z^{2}} e depois f=\tan(u).

Passo 2

Note que f não depende de x nem de w. Logo, as derivadas parciais em relação a essas variáveis são zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial w}=0.

Passo 3

Para \dfrac{\partial f}{\partial y}, aplicamos a cadeia em dois níveis:
  1. Derivada de \tan(u) em relação a u: \dfrac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
  2. Derivada de u=e^{y^{2}z^{2}} em relação a y: \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}e^{y^{2}z^{2}} =e^{y^{2}z^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}z^{2}) =e^{y^{2}z^{2}}\cdot2y\,z^{2}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =\operatorname{sec}^{2}\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr)\,\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\cdot2y\,z^{2}\bigr) =2y\,z^{2}\,e^{y^{2}z^{2}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr).

Passo 4

Para \dfrac{\partial f}{\partial z}, o procedimento é análogo ao de y:
\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}e^{y^{2}z^{2}} =e^{y^{2}z^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}z^{2}) =e^{y^{2}z^{2}}\cdot2z\,y^{2},
e assim
\frac{\partial f}{\partial z} =\operatorname{sec}^{2}\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr)\,\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\cdot2z\,y^{2}\bigr) =2z\,y^{2}\,e^{y^{2}z^{2}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} =2y\,z^{2}\,e^{y^{2}z^{2}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} =2z\,y^{2}\,e^{y^{2}z^{2}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{y^{2}z^{2}}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}=0

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