Encontre a equação do plano tangente ao gráfico das funções a seguir nos pontos especificados.
f(x, y)=e^{x-y} ;(2,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função \,f(x,y)=e^{x-y}\, no ponto \,(2,2,1).\n
Informações dadas:
\,f(x,y)=e^{x-y}\,.\n
Ponto indicado: \,(x_0,y_0,z_0)=(2,2,1).\n
Objetivo: encontrar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) nesse ponto.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).\n
Se temos uma superfície dada por \,z=f(x,y)\, e um ponto do gráfico \,(x_0,y_0,z_0) com \,z_0=f(x_0,y_0)\,, o plano tangente naquele ponto é a aproximação linear de f perto de (x_0,y_0). A fórmula padrão é:
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando cada termo:
  • \,f(x_0,y_0)\, é o valor da função no ponto (altura da superfície no ponto).
  • \,f_x(x_0,y_0)\, é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (x_0,y_0); mede a inclinação da superfície na direção x.
  • \,f_y(x_0,y_0)\, é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (x_0,y_0); mede a inclinação da superfície na direção y.
  • Os incrementos \,(x-x_0) e \,(y-y_0)\, representam deslocamentos no plano xy a partir do ponto de tangência.\n
    Breve comentário sobre derivadas parciais: para calcular \,f_x\, você diferencia f tratando y como constante; para \,f_y\, diferencia tratando x como constante. Isso dá as inclinações nas direções dos eixos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \,f(x,y)=e^{x-y}\,.\n
Derivando em relação a x (com y fixo):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{x-y}=e^{x-y}.
Derivando em relação a y (com x fixo):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x-y}=-e^{x-y},
porque a derivada de x-y em relação a y é -1.

Passo 4

Avaliar as derivadas e a função no ponto dado (2,2).\n
Primeiro o valor da função:
f(2,2)=e^{2-2}=e^{0}=1,
o que confirma que o ponto (2,2,1) está de fato no gráfico.\n
Agora avaliar as parciais em (2,2):
f_x(2,2)=e^{2-2}=e^{0}=1,
f_y(2,2)=-e^{2-2}=-e^{0}=-1.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente substituindo na fórmula.\n
Usando
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0),
com (x_0,y_0)=(2,2), f(2,2)=1, f_x(2,2)=1, f_y(2,2)=-1, obtemos:
z = 1 + 1\cdot(x-2) + (-1)\cdot(y-2).
Agora expandimos e simplificamos passo a passo:
z = 1 + x - 2 - y + 2,
z = x - y + 1.

Passo 6

Opcional: escrever em forma padrão (todos os termos no mesmo lado) se preferir:
x - y - z + 1 = 0.

Resposta

z = x - y + 1

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