Encontre a equação do plano tangente ao gráfico das funções a seguir nos pontos especificados.
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
.\n
Informações dadas:
.\n
Ponto indicado: .\n
Objetivo: encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
Informações dadas:
Ponto indicado:
Objetivo: encontrar a equação do plano tangente à superfície
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).\n
Se temos uma superfície dada por e um ponto do gráfico
com
, o plano tangente naquele ponto é a aproximação linear de
perto de
. A fórmula padrão é:
Se temos uma superfície dada por
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto (altura da superfície no ponto). -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; mede a inclinação da superfície na direção . -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; mede a inclinação da superfície na direção . - Os incrementos
e representam deslocamentos no plano a partir do ponto de tangência.\n
Breve comentário sobre derivadas parciais: para calcularvocê diferencia tratando como constante; para diferencia tratando como constante. Isso dá as inclinações nas direções dos eixos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.\n
Derivando em relação a (com
fixo):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(com
fixo):
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Avaliar as derivadas e a função no ponto dado
.\n
Primeiro o valor da função:
Primeiro o valor da função:
o que confirma que o ponto
está de fato no gráfico.\n
Agora avaliar as parciais em :
Agora avaliar as parciais em
Passo 5
Montar a equação do plano tangente substituindo na fórmula.\n
Usando
Usando
com
,
,
,
, obtemos:
Agora expandimos e simplificamos passo a passo:
Passo 6
Opcional: escrever em forma padrão (todos os termos no mesmo lado) se preferir: