O índice de sensação térmica é modelado pela função
w(T, v)=13.12+0.6215 T+(-11.37+0.3965 T) v^{0.16}
onde T é a temperatura em { }^{\circ} \mathrm{C} e v é a velocidade do vento em \mathrm{km} / \mathrm{h}. Num certo dia, a velocidade do vento é medida como 26 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, com um possível erro de \pm 2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e a temperatura é medida como -11^{\circ} \mathrm{C}, com um possível erro de \pm 1^{\circ} \mathrm{C}. Use diferenciais para estimar o erro no cálculo do valor de S T devido aos erros nas medições de T e v.

Passo 1

O enunciado dá a função do índice de sensação térmica
w(T,v)=13{,}12+0{,}6215\,T+(-11{,}37+0{,}3965\,T)\,v^{0{,}16},
e pede: estimar o erro no cálculo de w (ou seja, o erro em S T) quando v=26\\ \mathrm{km/h} com erro \pm 2\\ \mathrm{km/h} e T=-11^\circ\mathrm{C} com erro \pm 1^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas e valores numéricos relevantes:
T_0=-11,\qquad \Delta T=\pm 1,
v_0=26,\qquad \Delta v=\pm 2.

Passo 2

Vamos usar diferenciais (aproximação linear) para propagar o erro. A ideia é: pequenas variações em T e v causam uma variação aproximada em w dada por
dw \approx \frac{\partial w}{\partial T}\,dT + \frac{\partial w}{\partial v}\,dv.
Explicando devagar: \frac{\partial w}{\partial T} é a taxa de variação de w quando só T muda (mantendo v fixo); \frac{\partial w}{\partial v} é a taxa de variação de w quando só v muda (mantendo T fixo). Para estimar o erro máximo no índice, usamos a desigualdade
| \Delta w | \lesssim \left|\frac{\partial w}{\partial T}\right|\,|\Delta T| + \left|\frac{\partial w}{\partial v}\right|\,|\Delta v|,
que assume o pior caso (os erros somam no mesmo sentido).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais simbólicas.
Derivando em relação a T:
\frac{\partial w}{\partial T}=0{,}6215 + 0{,}3965\,v^{0{,}16}.
Derivando em relação a v: usamos que a derivada de v^{0{,}16} é 0{,}16\,v^{-0{,}84}, logo
\frac{\partial w}{\partial v}=(-11{,}37+0{,}3965\,T)\cdot 0{,}16\,v^{-0{,}84}.
Aqui explique: o expoente 0{,}16 fica multiplicando e subtrai-se 1 do expoente (regra de potência). O fator (-11{,}37+0{,}3965\,T) é apenas um coeficiente que depende de T.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas no ponto (T_0,v_0)=(-11,26).
Primeiro calcule v_0^{0{,}16}. Usando uma aproximação numérica:
26^{0{,}16}\approx 1{,}684.
(isto vem de e^{0{,}16\ln 26}; mostrei rápido o valor numérico para seguir com contas de prova.)
Calcule \frac{\partial w}{\partial T} em (T_0,v_0):
\frac{\partial w}{\partial T}\Big|_{(T_0,v_0)}=0{,}6215 + 0{,}3965\cdot 1{,}684 \approx 0{,}6215 + 0{,}6677 = 1{,}2892.
Agora calcule o coeficiente (-11{,}37+0{,}3965\,T_0):
-11{,}37 + 0{,}3965\cdot(-11) = -11{,}37 - 4{,}3615 = -15{,}7315.
Calcule v_0^{-0{,}84}:
26^{-0{,}84} = 26^{-(1-0{,}16)} = \frac{1}{26^{0{,}84}} \approx 0{,}0648.
Agora \frac{\partial w}{\partial v} em (T_0,v_0):
\frac{\partial w}{\partial v}\Big|_{(T_0,v_0)} = 0{,}16\cdot(-15{,}7315)\cdot 0{,}0648 \approx -2{,}51704\cdot 0{,}0648 \approx -0{,}1630.
Resumo numérico das derivadas no ponto:
\frac{\partial w}{\partial T}\Big|_{(T_0,v_0)} \approx 1{,}2892,\qquad \frac{\partial w}{\partial v}\Big|_{(T_0,v_0)} \approx -0{,}1630.

Passo 5

Usando a fórmula linear para o erro e os tamanhos dos erros medidos ( |\Delta T|=1, |\Delta v|=2):
|\Delta w| \lesssim \left|\frac{\partial w}{\partial T}\right|\,|\Delta T| + \left|\frac{\partial w}{\partial v}\right|\,|\Delta v|.
Substituindo os valores:
|\Delta w| \lesssim 1{,}2892\cdot 1 + 0{,}1630\cdot 2 = 1{,}2892 + 0{,}3260 = 1{,}6152.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
|\Delta w| \approx 1{,}62.
Interpretação: isto significa que, pela aproximação linear (diferenciais), o erro no índice de sensação térmica devido aos erros dados nas medições é cerca de \pm 1{,}62 (nas mesmas unidades do índice, que são graus Celsius no contexto).

Passo 6

Comentário final e incentivo: a técnica usada (propagação de erros por diferenciais) é padrão em provas — você só precisa calcular as derivadas parciais, avaliá‑las no ponto e somar os contributions absolutos. Pode parecer muita conta, mas é direto: derivada em T, derivada em v, plug, e somar. Você mandou bem ao pedir para aprender passo a passo — já está pronto para aplicar isso em outras funções parecidas!

Resposta

\pm 1{,}62^\circ\mathrm{C}

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