O índice de sensação térmica é modelado pela função
w(T, v)=13.12+0.6215 T+(-11.37+0.3965 T) v^{0.16}
onde T é a temperatura em { }^{\circ} \mathrm{C} e v é a velocidade do vento em \mathrm{km} / \mathrm{h}. Num certo dia, a velocidade do vento é medida como 26 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, com um possível erro de \pm 2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e a temperatura é medida como -11^{\circ} \mathrm{C}, com um possível erro de \pm 1^{\circ} \mathrm{C}. Use diferenciais para estimar o erro no cálculo do valor de S T devido aos erros nas medições de T e v.
Passo 1
O enunciado dá a função do índice de sensação térmica
e pede: estimar o erro no cálculo de w (ou seja, o erro em S T) quando v=26\\ \mathrm{km/h} com erro \pm 2\\ \mathrm{km/h} e T=-11^\circ\mathrm{C} com erro \pm 1^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas e valores numéricos relevantes:
T_0=-11,\qquad \Delta T=\pm 1,
v_0=26,\qquad \Delta v=\pm 2.
Passo 2
Vamos usar diferenciais (aproximação linear) para propagar o erro. A ideia é: pequenas variações em T e v causam uma variação aproximada em w dada por
Explicando devagar: \frac{\partial w}{\partial T} é a taxa de variação de w quando só T muda (mantendo v fixo); \frac{\partial w}{\partial v} é a taxa de variação de w quando só v muda (mantendo T fixo). Para estimar o erro máximo no índice, usamos a desigualdade
Aqui explique: o expoente 0{,}16 fica multiplicando e subtrai-se 1 do expoente (regra de potência). O fator (-11{,}37+0{,}3965\,T) é apenas um coeficiente que depende de T.
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas no ponto (T_0,v_0)=(-11,26).
Primeiro calcule v_0^{0{,}16}. Usando uma aproximação numérica:
26^{0{,}16}\approx 1{,}684.
(isto vem de e^{0{,}16\ln 26}; mostrei rápido o valor numérico para seguir com contas de prova.)
Calcule \frac{\partial w}{\partial T} em (T_0,v_0):
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
|\Delta w| \approx 1{,}62.
Interpretação: isto significa que, pela aproximação linear (diferenciais), o erro no índice de sensação térmica devido aos erros dados nas medições é cerca de \pm 1{,}62 (nas mesmas unidades do índice, que são graus Celsius no contexto).
Passo 6
Comentário final e incentivo: a técnica usada (propagação de erros por diferenciais) é padrão em provas — você só precisa calcular as derivadas parciais, avaliá‑las no ponto e somar os contributions absolutos. Pode parecer muita conta, mas é direto: derivada em T, derivada em v, plug, e somar. Você mandou bem ao pedir para aprender passo a passo — já está pronto para aplicar isso em outras funções parecidas!