Verificar que integralC 2 yx^3 d x-1x^2 d y não depende do caminho e calcular a integral quando C é uma curva ligando o ponto (1,-2) e o ponto (3,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral de linha de ω = (2y/x³) dx – (1/x²) dy não depende do caminho e depois calcular essa integral entre (1,−2) e (3,4). O conteúdo é integrais de linha de linha de campos conservativos (formas diferenciais exatas). Vamos usar o teste de exatidão e construir uma função potencial.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=2y/x³ e Q(x,y)=−1/x². Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais: partial P/partial y = 2/x^3 e partial Q/partial x = 2/x^3. Como partial P/partial y = partial Q/partial x, a forma é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Como a forma é exata, existe F(x,y) tal que partial F/partial x = P = 2y/x^3. Integramos em x:
F(x,y)=integral 2yx^3,dx = 2y(-12x^2)+g(y) = -yx^2+g(y)

Passo 4

Agora ajustamos g(y) impondo partial F/partial y = Q = -1/x^2. Calculando:
partial Fpartial y = -1x^2 + g'(y)
Para ser igual a Q=-1/x^2, precisamos de g'(y)=0. Logo, g é constante e podemos tomar F(x,y)=−y/x².

Passo 5

Por fim, calculamos a integral como diferença de potenciais:
integralC omega = F(3,4) - F(1,-2) = (-49) - (--21^2) = -49 - 2 = -229

Resposta

-\frac{22}{9}

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