Verificar que
não depende do caminho e calcular a integral quando
é uma curva ligando o ponto (1,-2) e o ponto (3,4).
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a integral de linha de ω = (2y/x³) dx – (1/x²) dy não depende do caminho e depois calcular essa integral entre (1,−2) e (3,4). O conteúdo é integrais de linha de linha de campos conservativos (formas diferenciais exatas). Vamos usar o teste de exatidão e construir uma função potencial.
Passo 2
Identificamos P(x,y)=2y/x³ e Q(x,y)=−1/x². Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
e
. Como
, a forma é exata e a integral independe do caminho.
Passo 3
Como a forma é exata, existe F(x,y) tal que
. Integramos em x:
Passo 4
Agora ajustamos g(y) impondo
. Calculando:
Para ser igual a
Passo 5
Por fim, calculamos a integral como diferença de potenciais:
Resposta
-\frac{22}{9}